5.5.1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式（第3课时 二倍角的正弦、余弦、正切公式）课件-2023-2024学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

5.5.1.3 二倍角的正弦、余弦、正切公式 1. 掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式及其推导过程；（重点） 2. 能灵活运用二倍角公式解决有关的化简、求值等问题．（难点） 新课讲授 学习目标 课堂总结 2 知识点 1 ：二倍角的正弦、余弦、正切公式 忆一忆：按照相应规律，说出所有的和（差）角公式! sin⁡ (α + β) = sinα·cosβ + cosα·sinβ sin⁡ (α − β) = sinα·cosβ − cosα·sinβ cos⁡ (α + β) = cosα·cosβ − sinα·sinβ cos⁡ (α − β) = cosα·cosβ + sinα·sinβ tan⁡ (α + β) = tan⁡ (α – β) = 新课讲授 学习目标 课堂总结 例 1 ：以六个和（差）公式为基础，请利用 S(α±β)，C(α±β)，T(α±β)，推导出 sin 2α，cos 2α，tan 2α 的公式. 通过观察和（差）公式可知，当 α = β 时，有下列结论： ① sin 2α = sin (α + α) = sin α·cos α + cos α·sin α = 2sin α·cos α； ② cos 2α = cos (α + α) = cos α·cos α − sin α·sinα = cos2α − sin2α； ③ tan 2α = tan⁡ (α + α) = = . 思考：结合 sin2α + cos2α = 1，说说上述公式，还有其他表示方法吗？ cos 2α = cos2α − sin2α cos 2α = 1 − 2sin2α = 2cos2α − 1. 新课讲授 学习目标 课堂总结 总结归纳 倍角公式 注意： （1）上述倍角公式给出了 α 的三角函数与 2α 的三角函数之间的关系； （2）这里的“倍角”专指“二倍角”，若遇“三倍角”等名词时，“三”字等不可省去. S2α ：sin 2α = 2sin α·cos α； C2α：cos 2α = cos2α − sin2α = 1 − 2sin2α = 2cos2α − 1； T2α：tan 2α = . 新课讲授 学习目标 课堂总结 思考：从和（差）角公式、倍角公式的推导过程可以发现，这些公式存在着某种紧密的逻辑联系，请你进行归纳总结，说说它们之间的联系. S(α±β)，C(α±β)，T(α±β)，S2α，C2α，T2α . S(α + β) S(α – β) C(α + β) C(α – β) T(α + β) T(α – β) S2α C2α T2α 圆的旋转对称性 新课讲授 学习目标 课堂总结 例 2：已知 sin 2α = ， < α < ，求sin⁡ 4α，cos 4α，tan 4α 的值． 解：由 4α 是 2α 的二倍角且已知 sin 2α 的值，故直接使用二倍角公式即可； 因为 < α < 得： < 2α < π；又 sin 2α = ，故 cos 2α = − ； 所以 sin⁡ 4α = sin [2×(2α)] = 2sin 2α·cos 2α = 2××(− ) = − ； cos⁡ 4α = cos [2×(2α)] = 1 − 2sin22α = 1 − 2×()2 = ； tan 4α = = − . 知识点 2 ：倍角公式的简单应用 注意：“倍”是两个数量间一种相对的关系，如 2α 是 α 的二倍，4α 又是 2α 的二倍， 是 的二倍；应准确理解“倍”的含义，灵活运用倍角公式. 新课讲授 学习目标 课堂总结 练一练 解：由 sin (α – π) = ，得：sin α = – ， cos 2α = 1 − 2sin2α = 1 – 2× = . 1. 已知 sin (α – π) = ，求 cos 2α 的值. 新课讲授 学习目标 课堂总结 例 3：在△ABC中，cos A = ，tan⁡ B = 2，求 tan⁡ (2A + 2B) 的值. 解：在△ABC中，由 cos A = ，0 < A < π 得：sin A = ，所以 tan A = ， 所以 tan⁡ 2A = = ，又 tan⁡ B = 2，所以 tan⁡ 2B = = ； 综上：tan⁡ (2A + 2B) = = . 思考：上述题目还有没有其他的解答方法，若有，请说出其他解法，若没有，请说明理由. 将 tan⁡ (2A+2B) 视为 tan⁡ 2(A+B)，先求出 tan⁡ (A+B)的值，再利用倍角公式即可. 新课讲授