5.5.1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式（第1课时 两角差的余弦公式 ）课件-2023-2024学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

5.5.1.1 两角差的余弦公式 1.理解两角差的余弦公式的推导过程；（重点） 2. 会利用两角差的余弦公式化简、求值、证明等.（难点） 新课讲授 学习目标 课堂总结 2 回顾：诱导公式都是特殊角与任意角 α 的和（或差）的三角函数与这个任意角 α 的三角函数的恒等关系. 思考：如果把特殊角换为任意角 β，那么任意角 α 与 β 的和（或差）的三角函数与 α，β 的三角函数会有什么关系呢？ 新课讲授 学习目标 课堂总结 知识点 1 ：两角差的余弦公式的推导 问题 1：如图，已知坐标系中两点 P、Q 的坐标，求 P、Q 两点间的距离. 解：设：P、Q两点的坐标为 P (x1，y1)，Q(x2，y2)， 连接PQ，做 PM⊥x，QM⊥y，则点M坐标为(x1，y2)； 根据勾股定理得：MQ2+MP2 = PQ2， 即：(x2 – x1)2 + (y2 – y1)2 = PQ2， o x y Q P 故 PQ 的距离为： . 思考：根据上述结论，你能推导出任意两点间的距离公式吗？ M 新课讲授 学习目标 课堂总结 总结归纳 任意两点间的距离公式 平面上两点 P(x1，y1)，Q(x2，y2) 的距离公式： PQ = . 注：公式使用过程中，可先建立直角坐标系，将任意两点的坐标标出，再套公式求解！ 新课讲授 学习目标 课堂总结 问题 2：如果已知任意角 α、β 的正弦、余弦，你能由此推出 α – β 的余弦吗？若能，请说明理由. 令 𝛼 ≠ 2kπ + β，k∈Z，如图，以 x 轴非负半轴为始边作角 α，β，α – β， 则点的坐标为：P1 (cosα，sinα)，A1 (cosβ，sinβ)， P ( cos(α – β)，sin(α – β) )； 将扇形OAP旋转 β 角，使点A，P分别与点A1，P1重合； 根据圆的旋转对称性可知，与重合，所以AP = A1P1； 再根据两点间距离公式求出对应关系即可； 新课讲授 学习目标 课堂总结 问题 3：结合上述结论，推导出 α – β 的余弦. 已知：P1(cosα，sinα)，A1(cosβ，sinβ)，P ( cos(α – β)，sin(α – β) )； 因为 PA = P1A1，根据两点间距离公式得： [cos(α – β) – 1]2 + sin2(α – β) = (cosα – cosβ)2 + (sinα – sinβ)2 化简得：cos⁡ (α−β) = cosα·cosβ + sinα·sinβ； 将 α = 2kπ + β（k∈Z）带入上式，易证上式仍然成立； 所以，对于任意 α，β 有：cos⁡ (α−β) = cosα·cosβ + sinα·sinβ， 简记作：C( α − β ) . 思考：上述差角的余弦公式，在三角函数计算过程中有何作用？ 新课讲授 学习目标 课堂总结 知识点 2 ：两角差的余弦公式初步应用 例 1：利用公式 C (α − β) 证明： （1）cos⁡ ( − α ) = sin α； （2）cos⁡ ( π − α ) = − cosα． 解：cos⁡ (α − β) = cos α·cos β + sin α·sin β； （1）cos⁡ ( − α ) = cos ·cos α + sin ·sin α = 0 + 1×sin α = sin α； （2）cos⁡ ( π − α ) = cos π·cos α + sin π·sin α = − 1× cos α + 0 = − cos α ； 思考：上述证明，说明了诱导公式和两角差的余弦公式之间有怎样的关系？ 你还能利用两角差的余弦公式证明其他诱导公式吗？ 新课讲授 学习目标 课堂总结 练一练 1. 利用公式 C(α − β) 证明：cos⁡ ( − α ) = − sin α； 解：cos⁡ (α − β) = cos α·cos β + sin α·sin β； cos⁡ ( − α ) = cos ·cos α + sin ·sin α = 0 + (− 1)×sin α = − sin α. 新课讲授 学习目标 课堂总结 例 2：已知sin α = ，α∈( ，π )，cos β = − ，β是第三象限角，求cos⁡ (α − β) 的值． 解：由 sin α = ，α∈( ，π ) 得： cos α = − = − = − ； 又由 cos β = − ，β是第三象限角，得： sin β = − = − =