5.4.2 正弦函数、余弦函数的性质 第2课时 课件-2023-2024学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

5.4.2 正弦函数、余弦函数的性质 第 2 课时 新授课 1. 掌握正弦函数和余弦函数的单调性； 2. 能利用正弦、余弦函数的单调性求解函数的最值（最大、最小值）. 新课讲授 学习目标 课堂总结 2 知识点 1 ：正弦、余弦函数的单调性 思考：仔细观察正弦函数的图象，试着判断函数的单调性？ 正弦函数是周期函数，与以前所学函数的单调性有较大差异； 故应先在正弦函数的一个周期区间里讨论它的单调性，再利用周期性，将单调性扩展到整个定义域. 新课讲授 学习目标 课堂总结 例 1：如图，判断正弦函数在区间[ ， ]上的单调性，并完成表格填空. 单调性：当 x 由– 增大到时，曲线逐渐上升，sin x 的值由 – 1增大到1； 当 x 由增大到时，曲线逐渐下降， sin x 的值由1减小到1； x ↗ 0 ↗ ↗ π ↗ sin x – 1 ↗ 0 ↗ 1 ↘ 0 ↘ – 1 即：正弦函数 y = sin x 在[ ]上单调递增，在[ ]上单调递减. 思考：根据上述结论，说说正弦函数 y = sin x，x∈R 的单调性？ 新课讲授 学习目标 课堂总结 思考：结合上述结论，再次观察正弦函数 y = sin x，x∈R 的图象，判断函数的单调性？ 正弦函数 y = sin x，x∈R ： 在每一个闭区间 [– +2kπ，+2kπ] (k∈Z)上都单调递增，其值从 –1 增大到 1 ； 在每一个闭区间 [+2kπ，+2kπ] (k∈Z) 上都单调递减，其值从 1 减小到 –1． 思考：根据正弦函数的单调性，说说如何判断余弦函数的单调性？ 新课讲授 学习目标 课堂总结 例 2：如图，观察余弦函数在一个周期区间[ – π，π ]上函数值的变化规律，完成下列表格. x – π ↗ ↗ 0 ↗ ↗ π cos x – 1 ↗ 0 ↗ 1 ↘ 0 ↘ – 1 余弦函数 y = cos x，x∈R ： 在每一个闭区间 [– π + 2kπ，2kπ]（k∈Z）上都单调递增，其值从 –1 增大到 1 ； 在每一个闭区间 [2kπ，π + 2kπ]（k∈Z）上都单调递减，其值从 1 减小到 –1． 余弦函数 y = cos x，x∈[ – π，π ]：在[– π，0]上单调递增，在[0，π]上单调递减. 新课讲授 学习目标 课堂总结 例 3：运用三角函数的单调性，不通过求值，比较下列各数的大小. （1） sin ( ) 和 sin ( )； （2）cos ( ) 和 cos ( ). 分析 ： 利用三角函数的单调性比较两个同名三角函数值的大小； 可先用诱导公式将已知角化为同一单调区间内的角，然后再比较大小 ． 解 ：（1）∵ – < – < – < 0，正弦函数 y = sin x 在上是增函数， ∴ sin ( ) < sin ( )； （2）cos ( ) = cos ()= cos ，cos ( ) = cos () = cos ； ∵ 0 < < < π，且余弦函数 y = cos x 在[ 0，π ]上单调递减， ∴ cos < cos ，即 cos ( ) < cos ( ) . 新课讲授 学习目标 课堂总结 练一练 1. 比较下列各数的大小： cos 150°和 cos 170 °. ∵ 90°< 150°< 170°< 180°， 又函数 y ＝ cos x 在区间 [ 90°，180°] 上是减函数， ∴ cos 150°> cos 170°； 新课讲授 学习目标 课堂总结 例 4：求函数 y = sin ( + )，x∈[ – 2π，2π ]的单调递增区间． 解 ：∵ z = + ，x∈[ – 2π，2π ]，则 z∈[ – ， ]， 又∵ y = sin z，z∈[ – ， ]的单调递增区间是 z∈[ – ， ]， 且由– ≤ + ≤ ，得 – ≤ x ≤ ∴ 函数 y = sin ( + )，x∈[ – 2π，2π ]，的单调递增区间是[， ]. 分析 ：令 z = + ，当自变量 x 的值增大时，z 的值也随之增大，因此若函数 y = sin z 在某个区间上单调递增，则 y = sin ( + ) 在相应的区间上也一定单调递增； 新课讲授 学习目标 课堂总结 练一练 2. 函数 f ( x ) = sin( x + ) 的一个递减区间是（ ） A. [– ， ] B. [ –π，0 ] C. [– π，π ] D. [ ，π