专题07 指数运算与指数函数23种常见考法归类-解密2023-2024学年高一数学上学期期末核心微专题考点通关手册(人教A版2019必修第一册)

专题07 指数运算与指数函数23种常见考法归类 解密2023-2024学年高一数学上学期期末核心微专题考点通关手册 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 考点一 指数幂的运算 考点二 条件求值 考点三 利用指数函数概念求参 考点四 求指数函数的解析式或值 考点五 含指数函数的分段函数求值 考点六 指数型函数的定义域问题 考点七 指数型函数的值域问题 考点八 指数型函数的恒过定点问题 考点九 根据指数函数的图象判断底数大小 考点十 指数型函数图像识别 考点十一 根据指数函数图像求参数取值范围 考点十二 指数函数图像的应用 考点十三 判断指数型函数的单调性 考点十四 指数型函数的单调区间 考点十五 比较指数幂的大小 考点十六 解指数型不等式 考点十七 根据指数型函数的单调性求参数的取值范围 考点十八 指数型函数的奇偶性问题 考点十九 指数函数的最值问题 考点二十 指数函数的恒成立和存在问题 考点二十一 指数函数的实际应用 考点二十二 指数型函数性质的综合应用 考点二十三 指数函数解答题 1、次方根 概念 一般地，如果，那么叫做的次方根，其中 性质及表示 是奇数 正数的次方根是一个正数 的次方根用符号表示 负数的次方根是一个负数 是偶数 正数的次方根有两个，这两个数互为相反数 正数的次方根用符号表示, 负数的次方根用符号表示。正的次方根与负次方根可以合并写成 负数没有偶次方根 0的任何次方根都是0，记作 2、根式 概念 式子叫做根式，这里叫做根指数，叫做被开方数 性质 当为奇数时，； 当为奇数时，； 3、分数指数幂的意义 分数指数幂 正分数指数幂 规定：＝(a>0，m，n∈N*，且n>1) 负分数指数幂 规定：＝(a>0，m，n∈N*，且n>1) 0的分数指数幂 0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂无意义 (2)有理数指数幂的运算性质：aras＝ar＋s，(ar)s＝ars，(ab)r＝arbr，其中a>0，b>0，r，s∈Q. 4、指数函数的概念 （1）定义：一般地，函数（且）叫做指数函数， 其中指数x是自变量，定义域是R，a是指数函数的底数． （2）注意事项：指数函数的底数规定大于0且不等于1的理由： ①如果，当 ②如果，如，当时，在实数范围内函数值不存在． ③如果，是一个常量，对它就没有研究的必要． 为了避免上述各种情况，所以规定且． （3）指数函数的解析式必须具有三个特征： ①底数a为大于0且不等于1的常数；②指数位置是自变量x；(3)ax的系数是1. （4）求指数函数的关键是求底数a，并注意a的限制条件. 5、指数函数的图象与性质 图象 性质 定义域 值域 过定点 单调性 在上是增函数 在上是减函数 奇偶性 非奇非偶函数 6、指数函数的图象与底数大小的比较 如图是指数函数(1)y＝ax，(2)y＝bx，(3)y＝cx，(4)y＝dx的图象，底数a，b，c，d与1之间的大小关系为c>d>1>a>b.由此我们可得到以下规律：在第一象限内，指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)的图象越高，底数越大． 7、指数型复合函数的定义域和值域 对于y＝af(x)(a>0，a≠1)这类函数， (1)定义域是使f(x)有意义的x的取值范围； (2)求值域问题，有以下三种方法： ①由定义域求出u＝f(x)的值域； ②利用指数函数y＝au的单调性求得此函数的值域. ③求形如y＝A·a2x＋B·ax＋C类函数的值域一般用换元法，设ax＝t(t>0)，再转化为二次函数求值域. 8、函数图象的变换规律 (1)平移变换：将函数y＝f(x)的图象向右平移m(m>0)个单位长度得函数y＝f(x－m)的图象(若m<0，就是向左平移|m|个单位长度)，将函数y＝f(x)的图象向上平移n(n>0)个单位长度，得到函数y＝f(x)＋n的图象(若n<0，就是向下平移|n|个单位长度). (2)对称变换： ①函数y＝f(x)的图象与函数y＝f(－x)的图象关于y轴对称，函数y＝f(x)的图象与函数y＝－f(x)的图象关于x轴对称，函数y＝f(x)的图象与函数y＝－f(－x)的图象关于原点对称； ②函数y＝f(|x|)是一个偶函数，其图象关于y轴对称，是将函数y＝f(x)位于y轴右侧的图象保留(左侧的擦去)，然后将y轴右侧的图象沿y轴对称到左侧，就得到函数y＝f(|x|)的图象； ③函数y＝|f(x)|的图象是将函数y＝f(x)的图象在x轴下方的部分沿x轴翻折到上方，x轴上方的部分不变. 9、判断形如