专题1.3 幂的乘方与积的乘方（知识梳理与考点分类讲解）-2023-2024学年七年级数学下册基础知识专项突破讲与练（北师大版）

专题1.3 幂的乘方与积的乘方（知识梳理与考点分类讲解） 【知识点一】幂的乘方 1. 幂的乘方法则 幂的乘方，底数不变，指数相乘. 即：用字母表示为（m，n都是正整数） 2. 法则的拓展运用 （1） 幂的乘法运算法则的推广：=（m,n,p都是正整数）； （2） 幂的乘方法则也可以逆用，逆用时==（m，n都是正整数） 特别提醒 1. “底数不变”是指幂的底数a不变，“指数相乘”是指幂的指数m与乘方的指数n相乘. 2. 底数可以是一个单项式，也可以是一个多项式. 【知识点二】积的乘方 1， 积的乘法法则 积的乘方，等于把积中的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘. 即：用字母表示为=（n为正整数）. 2.法则的拓展运用 （1） 积的乘方法则的推广：（n为正整数）. （2） 积的乘方法则也可以逆用，逆用时=（n为正整数）. 特别提醒 1. 积的乘方的前提是底数是乘积的形式，若底数为和的形式则不能用，即≠. 2. 每个因数（式）可以是单项式，也可以是多项式. 3. 在进行积的乘方运算时，要把底数中的每一个因式分别乘方，不要漏掉任何一个. 【考点目录】 【考点1】同底数幂相乘运算 【考点2】同底数幂相乘与整体加减法综合运算 【考点3】利用同底数幂相乘的法则求指数中字母的值 【考点4】同底数幂相乘的逆运算 【考点1】数的乘方运算与同底数幂相乘混合运算 【例1】（2023下·七年级课时练习）计算：． 【答案】 解：原式． 【易错点分析】幂的乘方中，当底数为负数时，如果指数为偶数，则结果为正数；如果指数为奇数，则结果为负数．合并同类项，要让同类项的系数相加减，字母和字母的指数不变． 【变式1】（2012上·重庆万州·八年级统考）已知，则的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先把81，27，9转化为底数为3的幂，再根据幂的乘方，底数不变，指数相乘化简．然后根据指数的大小即可比较大小． 解：∵； ； ． 则． 故选：A． 【点拨】本题考查了幂的乘方，变形为同底数幂的形式，再比较大小，可使计算简便． 【变式2】（2018下·七年级课时练习）计算： ． 【答案】 【分析】先算乘方，再算同底数幂的乘法即可． 解：； 故答案为：． 【点拨】本题考查幂的运算，熟练掌握相关运算法则，是解题的关键． 【考点2】数的乘方逆运算 【例2】（2022上·海南省直辖县级单位·八年级统考期中）已知．求： （1）的值； （2）的值： （3）的值． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】本题主要考查幂的乘方、同底数幂的乘法的逆用，熟练掌握运算法则是解题的关键； （1）利用同底数幂的乘法的法则进行运算即可；掌握同底数幂的乘法法则是解题的关键； （2）利用幂的乘方的法则进行运算即可；掌握幂的乘方的法则是解题的关键； （3）利用同底数幂的乘法的法则及幂的乘方的法则进行运算即可；掌握相关运算法则是解题的关键． （1）解： ． （2）解：． （3）解：． 【变式1】（2023下·七年级课时练习）把这4个数按照从小到大的顺序排列，正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 解：先根据幂的乘方法则，把4个数化成指数相同的数，再根据底数的大小比较即可．，，，，且，． 【易错点分析】与幂有关的计算，需要用到如下策略：把不同底数的幂化为同底数的幂；把不同指数的幂化为同指数的幂；把已知幂化为特殊底数的幂． 【变式2】（2014下·江西抚州·七年级统考期末）若，，则 ． 【答案】18 【分析】根据幂的乘方和同底数幂的乘法的逆运算法则求解即可． 解：∵，， ∴ ， 故答案为：18． 【点拨】本题考查幂的乘方和同底数幂的乘法，利用幂的乘方和同底数幂的乘法逆运算法则是解答的关键． 【考点3】积的乘方运算与同底数幂相乘综合运算 【例3】（2023上·八年级课时练习）计算： （1）； （2）． 【答案】（1）；（2）． 【分析】（1）先利用积的乘方运算法则求解，再加减求解即可； （2）先利用同底数幂的乘法和积的乘方运算法则求解，再加减求解即可． （1）解： ； （2）解： ． 【点拨】本题考查同底数幂的乘法、积的乘方、合并同类项，熟练掌握运算法则并正确求解是解答的关键． 【变式1】（2023上·八年级课时练习）下列各式的运算，结果正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据积的乘方运算法则逐项计算，即可判断． 解：A.，故该选项错误，不符合题意； B.，故该选项错误，不符合题意； C.，故该选项错误，不符合题意； D.，故该选项正确，符合题意； 故选：D． 【点拨】本题考查了积的乘方运算法则，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【变式2】（2023上·八年级课时练习）已知a，b为任意非零