专题1.8 整式的乘法（知识梳理与考点分类讲解）-2023-2024学年七年级数学下册基础知识专项突破讲与练（北师大版）

专题1.8 整式的乘法（知识梳理与考点分类讲解） 【知识点一】单项式与单项式相乘 1. 单项式乘法法则 单项式与单项式相乘，把它们的系数、相同字母的幂分别相乘，其与字母连同它的指数不变，作为积的因式. 2. 单项式与单项式相乘的步骤 （1） 确定积的系数，积的系数等于各项系数的积; （2） 同底数幂相乘，底数不变，指数相加； （3） 只在一个单项式里出现的字母，要连同它的指数写在积里. 3.单项式乘法法则的实质是乘法交换律、乘法结合律和同底数幂的乘法法则的综合运用. 特别提醒 1. 单项式与单项式相乘的结果仍是单项式； 2. 只在一个单项式里含有的字母，写积时不要遗漏； 3. 单项式乘法法则对于三个及三个以上的单项式相乘同样适用. 【知识点二】单项式与多项式相乘 1. 单项式乘多项式法则 单项式与多项式相乘，就是根据分配率用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加.用字母表示为m（a+b+c）=ma+mb+mc（m,a,b,c都是单项式）. 2. 单项式与多项式相乘的几何意义 大长方形的面积可以表示为p（a+b+c）；因为大长方形的面积等于三个小长方形的面积之和，所以大长方形的面积也可以表示为pa+pb+pc.所以p（a+b+c）=pa+pb+pc. 特别提醒 1. 单项式与多项式相乘的结果是一个多项式，其项数与因式中多项式的项数相同. 2. 单项式与多项式相乘时，要把单项式和多项式里的每一项都相乘，不要漏乘、多乘. 【知识点三】多项式与多项式相乘 1. 多项式乘多项式法则 多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加.用字母表示为（a+b）·（m+n）=am+bm+an+bn（m,n,a,b都是单项式）. 2. 多项式与多项式相乘的几何解释 大长方形的面积可以表示为（a+b）（p+q），也可以将达长方形的面积表示为四个小长方形的面积之和，即ap+aq+bp+bq.所以（a+b）（p+q）=ap+aq+bp+bq. 特别提醒 1. 多项式乘多项式法则的实质是将多项式与多项式相乘转化为几个单项式相乘的和的形式. 2. 多项式与多项式相乘的结果仍为多项式，再合并同类项之前，积的项数应该是两个多项式的订数之积. 3. 计算结果一定要注意合并同类项. 【考点目录】 【考点1】单项式乘以单项式； 【考点2】单项式乘以多项式； 【考点3】多项式乘以多项式； 【考点4】整式乘法的化简求值； 【考点5】整式乘积中不含问题； 【考点6】整式乘法与面积问题. 【考点1】单项式乘以单项式 【例1】（2023下·全国·七年级专题练习）计算： （1）； （2） ； （3） （4）． 【答案】（1）；（2）；（3）；（4） 【分析】（1）先计算积的乘方，再计算单项式乘以单项式即可； （2）先计算积的乘方，再计算单项式乘以单项式即可； （3）根据同底数幂乘法的逆运算和积的乘方的逆运算法则求解即可； （4）先计算积的乘方，再计算单项式乘以单项式即可． （1）解：原式 ； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ； （4）解：原式 ． 【点拨】本题主要考查了单项式乘单项式，积的乘方，积的乘方的逆运算，同底数幂乘法的逆运算，解答的关键是对相应的运算法则的掌握． 【变式1】（2022下·江苏徐州·七年级统考期中）计算的结果是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】直接利用单项式乘以单项式运算法则化简求出答案即可． 解：． 故选：A． 【点拨】此题主要考查了单项式乘以单项式，正掌握运算法则是解题关键． 【变式2】（2019下·四川成都·七年级统考期末）如果单项式与单项式的乘积为，则 ． 【答案】-5 【分析】根据已知条件可求得，约分可得，根据单项式相乘的原则：底数不变，指数相加可得求解即可. 解：单项式与单项式的乘积为，即 两边约分后可得 根据底数不变，指数相加原则可得 可求得. 故答案为-5. 【点拨】此题考查单项式乘单项式，解题关键在于掌握运算法则. 【考点2】单项式乘以多项式 【例2】（2023上·全国·八年级专题练习）计算下列各题． （1）； （2）． 【答案】（1）；（2）． 【分析】本题主要考查单项式乘以多项式，熟练掌握单项式乘以多项式的运算法则是解题的关键． （1）根据单项式乘以多项式的运算法则进行计算； （2）先根据单项式乘以多项式的运算法则进行计算，再合并同类项． （1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 【变式1】（2023上·四川绵阳·八年级校联考阶段练习）若长方形的一边长为，另一边比它长，则这个长方形的面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了整式乘法的运用，熟练掌握长方形的面积公式以及整式乘法的运算法则是解题的关键． 解