专题十八 角度计算中的动态问题 讲义 2023—2024学年人教版数学七年级上册

七年级数学上期末培优专题复习 专题十八 角度计算中的动态问题 角度计算中的动态问题通常以线动、形动构成的问题为多，它以几何图形为载体，运动变化为主线，将多个知识点综合起来，构成以角度为载体的压轴题。 解题策略： ①结合线段中的动点、动线段问题进行思考，用类比线段动态问题的方法学习角的动态问题。 ②注意角的内部、外部变化带来的分类讨论问题。 类型一、射线的旋转 ①设元，一般表示较小的角这个量，用代数式表示其他相关联的量。 ②推理计算这个量的结果。 【例1-1】已知∠AOB＝90°，作射线OC，再分别作∠AOC和∠BOC的平分线OD，OE． （1）如图①，当∠BOC＝70°时，求∠DOE的度数； （2）如图②，当射线OC在∠AOB内绕点O旋转时，∠DOE的大小是否发生变化，说明理由； （3）当射线OC在∠AOB外绕点O旋转且∠AOC为钝角时，画出图形，直接写出相应的∠DOE的度数．（不必写出过程） 【例1-2】已知O为直线AB上一点，过点O向直线AB上方引两条射线OC，OD，且OC平分∠AOD． （1）若∠BOD：∠AOD＝4：6，求∠AOC的度数． （2）请在图1中画一条射线OE，使得OE平分∠BOD，并求此时∠COE的度数． （3）将（2）中的射线OE绕O点旋转一定的角度，使得∠BOE＝4∠DOE，且∠COE＝75°，求此时∠BOE的度数． 针对练习1 1．已知如图ON是∠BOC的平分线，OM是∠AOC的平分线，∠AOC＝28°，∠COB＝42°． （1）求∠MON的度数． （2）当射线OC在∠AOB的内部线绕点O转动时，射线OM、ON的位置是否发生变化？说明理由． （3）在（2）的条件下，∠MON的大小是否发生变化？如果不变，求其度数；如果变化，说出其变化范围． 2．（1）如图1，∠EOC＝4∠COD，∠COD＝20°，OE为∠AOD的平分线，求∠AOD的大小，请补全解题过程． 解：∵∠EOC＝4∠COD，∠COD＝20°， ∴∠EOC＝　 　°， ∴∠DOE＝∠EOC﹣∠COD＝　 　°， ∵OE为∠AOD的平分线，则∠AOD＝2∠DOE＝120°． （2）已知OC是∠AOB内部的一条射线，M，N分别为OA，OC上的点，线段OM，ON同时分别以30°/s，10°/s的速度绕点O逆时针转动，设转动时间为t s． 如图2，若∠AOB＝120°，OM，ON逆时针转动到OM'，ON'处． ①若OM，ON的转动时间t为2，则∠BON'+∠COM'＝　 °　； ②若OM'平分∠AOC，ON'平分∠BOC，则∠M'ON'＝　 　°． 3．如图所示已知∠AOB＝90°，∠BOC＝30°，OM平分∠AOC，ON平分∠BOC． （1）∠MON＝　 　°； （2）如图∠AOB＝90°，将OC绕O点向下旋转，使∠BOC＝2x°，仍然分别作∠AOC，∠BOC的平分线OM，ON，能否求出∠MON的度数？若能，求出其值；若不能，试说明理由； （3）∠AOB＝α，∠BOC＝β，仍然分别作∠AOC，∠BOC的平分线OM，ON，能否求出∠MON的度数？若能，求∠MON的度数；并从你的求解中看出什么规律吗？ 4．如图1，射线OC在∠AOB的内部，图中共有3个角：∠AOB、∠AOC和∠BOC，若其中有一个角的度数是另一个角度数的两倍，则称射线OC是∠AOB的奇妙线． （1）一个角的角平分线 　 　这个角的奇妙线．（填是或不是） （2）如图2，若∠MPN＝60°，射线PQ绕点P从PN位置开始，以每秒10°的速度逆时针旋转，当∠QPN首次等于180°时停止旋转，设旋转的时间为t（s）． ①当t为何值时，射线PM是∠QPN的奇妙线？ ②若射线PM同时绕点P以每秒6°的速度逆时针旋转，并与PQ同时停止旋转．请求出当射线PQ是∠MPN的奇妙线时t的值． 类型二、角的旋转 【例2-1】如图1，已知∠AOB＝120°，∠COD＝60°，OM在∠AOC内，ON在∠BOD内，∠AOM＝∠AOC，∠BON＝∠BOD．（本题中所有角均大于0°且小于等于180°） （1）∠COD从图1中的位置绕点O逆时针旋转到OC与OB重合时，如图2，则∠MON＝　 　°； （2）∠COD从图2中的位置绕点O逆时针旋转n°（0＜n＜120且n≠60），求∠MON的度数； （3）∠COD从图2中的位置绕点O顺时针旋转n°（0＜n＜180且n≠60a，其中a为正整数），直接写出所有使∠MON＝2∠BOC的n值． 【例2-2】如图，以直线AB上一点O为端点作射线OC，使∠BOC＝70°，将一个直角三角形的直角顶点放在点O处．（注：∠DOE＝90°） （1）如图①，若直角三角板DOE的一边OD放在射线OB上，则∠COE＝