专题十二 一元一次方程的应用 （一） 讲义 2023—2024学年人教版数学七年级上册

七年级数学上期末培优专题复习 专题十二 一元一次方程的应用 （一） 一元一次方程应用一般步骤： （1）审题；（2）设未知数；（3）列方程；（4）解方程；（5）验算；（6）作答。 弄清题目中“几倍、多、少、差、几分之几”等关键词体现的等量关系。 解方程应用题的关键： 一元一次方程应用题的解题关键就是：先找出等量关系，根据基本量设未知数。一般是问什么设什么，但是一些特殊的题目为了使方程简便有时会设一些中间量为未知数。解方程应用题的关键就是要“抓住基本量，找出相等关系”。 找等量关系：①从题目中的关键语句入手寻找等量关系；②利用某些基本公式寻找等量关系；③从变化的关系中寻找不变的量，进而找到等量关系。 不管是什么问题，关键是要了解各个具体问题所具有的基本量，并了解各个问题所本身隐含的等量关系，结合具体的问题，根据等量关系列出方程。 类型一、行程问题 行程问题中有三个基本量：路程、时间、速度。 等量关系为：①路程=速度×时间； ②速度=路程/时间； ③时间=路程/速度 1.航行问题 ①顺水（风）速度=静水（无风）速度+水流速度（风速）； ②逆水（风）速度=静水（无风）速度－水流速度（风速）。 由此可得到航行问题中一个重要等量关系： 顺水（风）速度－水流速度（风速）＝逆水（风）速度+水流速度（风速）＝静水（无风）速度。 【例1-1】一架飞机从A地到B地顺风航行需要2.8小时，沿相同的路线返回时需要3.2小时，若航行时风的速度为28千米/时，求飞机无风航行时的速度？ 2.相遇问题 A走的路程+B走的路程=两地之间的距离 【例1-2】甲乙两人同时从相距3000米的两地相向而行，甲每分钟行70米，乙每分钟行80米．一只小狗与甲一起出发，每分钟跑100米，狗与乙相遇后立即掉头向甲跑去，遇到甲后又向乙跑去，如此反复直到两人相遇，这只狗跑了多少米？ 3.追击问题 同时不同地出发：A走的路程-B走的路程=被追赶的路程（A、B出发时相距的距离） 【例1-3】甲、乙两人相距40km，甲先出发1.5h后乙再出发，甲在后，乙在前，两人同向而行，甲的速度是8km/h，乙的速度是6km/h，问甲出发几小时后追上乙？ 4.环形问题 （1）同向行驶，如果A速度较快，则A走的路程-B走的路程=n环/圈（n表示第n次相遇） （2）反向行驶，A走的路程+B走的路程=n环/圈（n表示第n次相遇） 【例1-4】甲、乙二人绕学校操场的环形跑道跑步，甲80秒跑一圈，乙48秒，两人同时同地同向跑，则第一次相遇要经过　120　秒． 针对练习1 1．《九章算术》是中国古代的一部数学专著，其中记载了一道有趣的题：“今有凫起南海，七日至北海；雁起北海，九日至南海．今凫雁俱起，问何日相逢？”大意是：今有野鸭从南海起飞，7天到北海；大雁从北海起飞，9天到南海．现野鸭从南海，大雁从北海同时起飞，问经过多少天相遇？设经过x天相遇，根据题意可列方程为（　　） A．（9+7）x＝1 B．（9﹣7）x＝1 C． D． 2．我国古代有很多经典的数学题，其中有一道题目是：良马日行二百里，驽马日行一百二十里，驽马先行十日，问良马几何追及之．意思是：跑得快的马每天走200里，跑得慢的马每天走120里，慢马先走10天，快马几天可追上慢马？若设快马x天可追上慢马，则由题意可列方程为（　　） A．120+10x＝200x B．120+200x＝120×10 C．200x＝120x+120×10 D．200x＝120x+200×10 3 .湖的周围有一条环行的公共汽车线路．从路上一点A乘车向右绕湖一周时，从A到B地是平路，B地到C地是上坡路，C地到A地是下坡路．11时整，汽车甲从A出发向右开，同时汽车乙从A地出发向左开．途中两车在11时28分相遇，然后甲在12时整，乙在11时48分，分别回到A地．公共汽车走平路、上坡路和下坡路的速度分别为20公里/小时、15公里/小时和30公里/小时，不考虑途中停车的时间．问： （1）相遇处在哪一段路上：AB、BC还是CA，说明理由； （2）求平路AB的长． 4．甲、乙两站相距240千米，一列慢车从甲站开出，每小时行90千米，一列快车从乙站开出，每小时行150千米． （1）若慢车先开出1小时，快车再开，两车相向而行，快车开出 　　小时后两车相遇． （2）若两车同时同向开出，快车再慢车后面，快车开出 　4　小时后两车相遇． （3）若两车同时开出，相向而行，慢车几小时后两车相距150千米？（第1问和第2问直接写答案，第3问写出解答过程） 5．一列高铁列车和一列动车都从A市驶向B市，高铁列车用了5h，动车用了7.5h，已知高铁列车的速度是动车的2倍少100km/h，求高铁列车的速度和A、B两市之间的路程． 6 .2022年11月30日，陕西省交通厅召开新闻发布会，西安至延安高速铁路开