2024年中考复习数学专项练习： 圆与二次函数结合型压轴题

圆与二次函数结合型压轴题 1．我们把一个半圆与二次函数图象的一部分合成的封闭图形称为“蛋圆”，如果一条直线与“蛋圆”只有一个交点（半圆与二次函数图象的连接点除外），那么这条直线叫做“蛋圆”的切线．如图，二次函数y=x2﹣2x﹣3的图象与x轴交于点A、B，与y轴交于点D，AB为半圆直径，半圆圆心为点M，半圆与y轴的正半轴交于点C． （1）求点C的坐标； （2）分别求出经过点C和点D的“蛋圆”的切线的表达式． 2．如图，在直角坐标系中，以点为圆心，以为半径的圆与轴相交于点，与轴相交于点． （1）若抛物线经过两点，求抛物线的解析式，并判断点是否在该抛物线上． （2）在（1）中的抛物线的对称轴上求一点，使得的周长最小． （3）设为（1）中的抛物线的对称轴上的一点，在抛物线上是否存在这样的点，使得四边形是平行四边形．若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由． 3．如图，在平面直角坐标系中，顶点为的抛物线交y轴于点A，交x轴于B，C两点(点B在点C的左侧)，已知C点坐标为． (1)求此抛物线的解析式； (2)连结AB，过点B作线段的垂线交抛物线于点D，如果以点C为圆心的圆与抛物线的对称轴l相切，先补全图形，再判断直线与的位置关系并加以证明； (3)已知点P是抛物线上的一个动点，且位于A，C两点之间．问：当点P运动到什么位置时，的面积最大？求出的最大面积．      4．如图,在平面直角坐标系中,顶点为(4,−1)的抛物线交y轴于A点,交x轴于B,C两点(点B在点C的左侧),已知A点坐标为(0,3). （1）求此抛物线的解析式； （2）已知点P是抛物线上的一个动点，且位于A，C两点之间，问：当点P运动到什么位置时，△PAC的面积最大?并求出此时P点的坐标和△PAC的最大面积； （3）过点B作线段AB的垂线交抛物线于点D，如果以点C为圆心的圆与直线BD相切，请判断抛物线的对称轴与有怎样的位置关系，并给出证明. 5．如图，在平面直角坐标系中，顶点为的抛物线交轴于点，交轴于，两点（点在点的左侧），已知点坐标为． （1）求此抛物线的解析式； （2）过点作线段的垂线交抛物线于点，如果以点为圆心的圆与直线相切，请判断抛物线的对称轴与有怎样的位置关系，并给出证明． 6．已知，如图，点M在x轴上，以点M为圆心，2.5长为半径的圆交y轴于A、B两点，交x轴于C（x1，0）、D（x2，0）两点，（x1＜x2），x1、x2是方程x（2x+1）=（x+2）2的两根． （1）求点C、D及点M的坐标； （2）若直线y=kx+b切⊙M于点A，交x轴于P，求PA的长； （3）⊙M上是否存在这样的点Q，使点Q、A、C三点构成的三角形与△AOC相似？若存在，请求出点的坐标，并求出过A、C、Q三点的抛物线的解析式；若不存在，请说明理由． 7．在平面直角坐标系中，直线交轴于点，交轴于点，抛物线经过点，与直线交于点． （1）求抛物线的解析式； （2）如图，横坐标为的点在直线上方的抛物线上，过点作轴交直线于点，以为直径的圆交直线于另一点．当点在轴上时，求的周长； （3）将绕坐标平面内的某一点按顺时针方向旋转，得到，点的对应点分别是．若的两个顶点恰好落在抛物线上，请直接写出点的坐标． 8．我们把一个半圆与抛物线的一部分合成的封闭图形称为“蛋圆”，如果一条直线与“蛋圆”只有一个交点，那么这条直线叫做“蛋圆”的切线．如图所示，点A、B、C、D分别是“蛋圆”与坐标轴的交点，已知点D的坐标为（0，-3），AB为半圆的直径，半圆圆心M的坐标为（1，0），半圆半径为2． （1）请你求出“蛋圆”抛物线部分的解析式，并写出自变量的取值范围； （2）你能求出经过点C的“蛋圆”切线的解析式吗？试试看； （3）开动脑筋想一想，相信你能求出经过点D的“蛋圆”切线的解析式． 9．已知：如图，在平面直角坐标系xOy中，以点P（2，）为圆心的圆与y轴相切于点A，与x轴相交于B、C两点（点B在点C的左边）． （1）求经过A、B、C三点的抛物线的解析式； （2）在（1）中的抛物线上是否存在点M，使△MBP的面积是菱形ABCP面积的．如果存在，请直接写出所有满足条件的M点的坐标；如果若不存在，请说明理由； （3）如果一个动点D自点P出发，先到达y轴上的某点，再到达x轴上某点，最后运动到（1）中抛物线的顶点Q处，求使点D运动的总路径最短的路径的长． 10． 如图，一次函数y=2x与反比例函数y=(k＞0)的图象交于A、B两点，点P在以C(-2，0)为圆心，1为半径的圆上，Q是AP的中点 （1）若AO=，求k的值； （2）若OQ长的最大值为，求k的值； （3）若过点C的二次函数y=ax2+bx+c同时满足以下两个条件：①a+b+c=0；②当a≤x≤a+1时，函数y的最大值为4a，求二次项系数a的值． 11．如图①，已知