5.3.2 函数的极值与最值 第2课时 课件-2023-2024学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第二册

5.3.2 函数的极值与最大(小)值 2.函数的最大（小）值(1) 复习回顾 1.函数的极小值和极大值的概念: 如果函数y=f(x)在点x=a的函数值f(a)比它在点x=a附近其他点的函数值都小，f′(a)=0；而且在x=a附近的左侧f ′(x)<0 ，右侧f ′(x)>0. 那么我们把a叫做函数y=f(x)的极小值点，f(a)叫做函数 y=f(x)的极小值； 如果函数y=f(x)在点x=b的函数值f(b)比它在点x=b附近其他点的函数值都大，f′(b)=0；而且在点x=b附近的左侧f′(x)>0，右侧f′(x)<0．那么我们b叫做函数y=f(x)的极大值点，f(b)叫做函数y=f(x)的极大值． 极小值点、极大值点统称为极值点，极小值和极大值统称为极值 (extremum)． 2 2. 求可导函数f(x)的极值的步骤如下: (2)求导数f '(x) (3)求方程f '(x)=0的根. (4)列表检查f '(x)在方程根左右的值的符号, 如果左负右正, 那么f(x)在这个根处取得极小值; 如果左正右负,那 么f(x)在这个根处取得极大值. (1)求函数定义域 (5)写结论 3.函数最大值和最小值的概念： 一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果存在实数M 满足： （1）对于任意的x∈I，都有f(x)≤M ; （2）存在 x0∈I，使得f(x0) = M 那么，称M 是函数y=f(x)的最大值. 一般地，设函数y=f(x)的定义域为I ，如果存在实数M 满足： （2）对于任意的x∈I ，都有f(x)≥m ; （2）存在 x0∈I，使得f(x0) = m 那么，称m是函数y=f(x)的最小值 . 我们知道，极值反映的是函数在某一点附近的局部性质，而不是函数在整个定义域内的性质． 也就是说，如果x0是函数y=f(x)的极大（小）值点，那么在x= x0附近找不到比f(x0)更大（小）的值． 但是，在解决实际问题或研究函数的性质时，我们往往更关心函数在某个区间上，哪个值最大，哪个值最小． 如果x0是某个区间上函数y=f(x)的最大(小)值点，那么f(x0)不小(大)于函数y=f(x)在此区间上的所有函数值. 函数在什么条件下一定有最大值、最小值？它们与函数极值关系如何？ 探究新知 问题1:下图是函数y=f(x)，x∈[a，b]的图象，你能找出它的极小值、极大值吗？ 极小值： f(x1)、f(x3)、f(x5), 极大值：f(x2)、f(x4)、f(x6). 追问:你能找出函数y=f(x)在区间[a，b]上的最小值、最大值吗？ 最大值：f(a);最小值：f(x3) x y O 问题2：观察[a,b]上的函数y=f(x)和y=g(x)的图象，它们在[a,b]上有最大值、最小值吗？如果有，最大值和最小值分别是什么？ a b y=f(x) x y O a b X2 X1 X3 X4 X5 y=g(x) 最大值：f(b);最小值：f(a) 最大值：f(x3);最小值：f(x4) 一般地，如果在区间[a,b]上函数y=f (x)的图像是一条连续曲线,它必有最大值和最小值. 结论 思考：在没有给出函数图象的情况下，如何求函数在区间[a，b]上的最大值与最小值呢？ 由上述例子可知，只要把函数y=f(x)的所有极值连同端点的函数值进行比较，就可以求出函数的最大值与最小值. 追问1：函数最值与极值有什么关系？ 联系：只要把函数y=f(x)的所有极值连同端点的函数值进行比较，就可以求出函数的最大值和最小值。 区别： 1.函数的最大值、最小值是比较整个定义域上的函数值得出的，函数的极大值、极小值是比较极值点附近的函数值得出的，即极值是函数的局部性质，最值是函数的整体性质. 2.函数的极值可以有多个，但函数在其定义域上的最大值、最小值最多各有一个. 4.极值只能在区间内取得，最值则可以在端点处取得；有最值未必有极值；极值有可能成为最值，最值只要不在端点处取得必定是极值. 3.函数的极大值不一定大于极小值，极小值不一定小于极大值，而最大值一定大于最小值(常值函数除外). 追问2：为什么给定函数的区间必须是闭区间？ 因为不能保证f(x)在开区间上有最大值和最小值（最值有可能在区间端点处取得）。 O x y a b y=f(x) y=f(x) O x y a b O x y a b y=f(x) O x y a b y=f(x) 例1. 解： x 0 (0, 2) 2 (2, 3) 3 f′(x) f(x) x y O 4 2 3 方法归纳 求f(x)在[