专题03 乘法公式重难点题型专训（7大题型+15道拓展培优）-2023-2024学年七年级数学下册重难点专题提升精讲精练（北师大版）

专题03 乘法公式重难点题型专训（7大题型+15道拓展培优） 【题型目录】 题型一 运用平方差公式进行运算 题型二 平方差公式与几何图形 题型三 运用完全平方公式进行运算 题型四 通过对完全平方公式变形求值 题型五 求完全平方式中的字母系数 题型六 完全平方式在几何图形中的应用 题型七 完全平方公式在几何图形中的应用 【知识梳理】 知识1：平方差公式 平方差公式： 语言描述：两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差. 注意：在这里，既可以是具体数字，也可以是单项式或多项式. 知识点2：平方差公式的特征 抓住公式的几个变形形式利于理解公式.但是关键仍然是把握平方差公式的典型特征：既有相同项，又有“相反项”，而结果是“相同项”的平方减去“相反项”的平方.常见的变式有以下类型： ① 位置变化，xyyxx2y2 ② 符号变化，xyxyx2y2 x2y2 ③ 指数变化，x2y2x2y2x4y4 ④ 系数变化，2ab2ab4a2b2 ⑤ 换式变化，xyzmxyzm xy2zm2 x2y2zmzm x2y2z2zmzmm2 x2y2z22zmm2 ⑥ 增项变化，xyzxyz xy2z2 xyxyz2 x2xyxyy2z2 x22xyy2z2 知识点3：完全平方公式 完全平方公式： 两数和 (差)的平方等于这两数的平方和加上（减去）这两数乘积的两倍 注意：公式特点：左边是两数的和（或差）的平方，右边是二次三项式，是这两数的平方和加（或减）这两数之积的2倍.以下是常见的变形： 知识点4：拓展、补充公式 ；； ；. 【经典例题一 运用平方差公式进行运算】 【例1】（2023上·河南新乡·八年级校考阶段练习）下列计算错误的是（   ） A． B． C． D． 【变式训练】 1．（2023上·山东济宁·八年级校考阶段练习）式子化简的结果为（    ） A． B． C． D． 2．（2023上·广西河池·八年级统考期末）已知，，则的值为 ． 3．（2023上·河南周口·八年级校联考阶段练习）若，，则 ． 4．（2023上·河北廊坊·八年级校考期末）认真观察下面这些等式，按其规律，完成下列各小题： ①； ②； ③； ④______； … (1)将横线上的等式补充完整； (2)验证规律：设两个连续的正偶数为，（n为正整数），则它们的平方差是4的倍数； (3)拓展延伸：判断两个连续的正奇数的平方差是8的倍数吗？并说明理由． 【经典例题二 平方差公式与几何图形】 【例2】（2023·广东汕尾·统考一模）如图，从边长为的正方形中去掉一个边长为的小正方形，然后用剩余的部分剪开后拼成一个长方形，上述操作能验证的等式是（　　） A． B． C． D． 【变式训练】 1．（2022上·贵州黔南·八年级阶段练习）如图，从边长为的大正方形中剪掉一个边长为的小正方形，将阴影部分沿虚线剪开，拼成如图矩形，这个图形的变化过程写出一个正确的等式(　　) A． B． C． D． 2．（2024下·全国·七年级假期作业）如图，阴影部分是边长为的大正方形中减去一个边长为的小正方形后所得到的图形，将阴影部分通过割、拼，形成新的图形．给出下列三种割、拼方法，其中能够验证平方差公式的是图 ． 3．（2023上·天津和平·八年级天津市第二南开中学校考开学考试）如图，在边长为a的正方形上裁去边长为b的正方形． （1）图1，阴影面积是 ； （2）图2是将图1中的阴影部分裁开，重新拼成梯形，根据图形可以得到乘法公式 ； （3）运用得到的公式，计算： 4．（2023上·河南南阳·八年级统考期中）我国著名数学家华罗庚说过“数缺形时少直观，形缺数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事休”．请你利用数形结合的思想解决以下数学问题． 从边长为a的正方形减掉一个边长为b的正方形（如图1），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2）．    (1)通过计算两个图形（阴影部分）的面积，验证的一个等式是 ． (2)若，，求的值． (3)计算的值是 ． 【经典例题三 运用完全平方公式进行运算】 【例3】（2023上·河南南阳·八年级统考期中）下列式子：① ；② ； ③，其中正确的是（   ） A．①②③ B．只有①② C．只有② D．只有① 【变式训练】 1．（2023上·辽宁鞍山·八年级校考阶段练习）已知为任意实数，则的值（    ） A．一定为负数 B．一定为正数 C．一定为非正数 D．可能为正数、负数或0 2．（2024·全国·八年级假期作业）化简： ． 3．（2023上·湖南长沙·八年级校联考阶段练习）已知，，则 ． 4．（20