第五章三角函数单元 知识总结与题型归纳-2023-2024学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

第五章 三角函数 知识总结与题型归纳 重点一：任意角 2、角的顶点与原点重合，角的始边与轴的非负半轴重合，终边落在第几象限，则称为第几象限角． 第一象限角的集合为 第二象限角的集合为 第三象限角的集合为 第四象限角的集合为 终边在轴上的角的集合为 终边在轴上的角的集合为 终边在坐标轴上的角的集合为 3、与角终边相同的角的集合为 题型1：终边相同的角 例1：(1)与－2 010°终边相同的最小正角是________． (2)下列各角分别是第几象限角？请写出与下列各角终边相同的角β的集合S，并求出S中适合不等式－360°≤β<360°的元素．①60°；②－21°. (3)写出终边在x轴上的角的集合． 针对训练 1.已知α＝－1 910°. (1)把α写成β＋k·360°(k∈Z,0°≤β<360°)的形式，并指出它是第几象限的角． (2)求θ，使θ与α的终边相同，且－720°≤θ<0°. 重点二：弧度制 4、长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做弧度． 5、半径为的圆的圆心角所对弧的长为，则角的弧度数的绝对值是 6、弧度制与角度制的换算公式：，，． 7、若扇形的圆心角为，半径为，弧长为，周长为，面积为，则，，． 题型2：弧度与角度 例2：(1)将下列各角进行角度与弧度的互化(角度精确到0.01)： α1＝－π，α2＝π，α3＝9，α4＝－855°； (2)用弧度表示终边落在如图(1)(2)所示的阴影部分内(不包括边界)的角的集合． 针对训练 2.（1）如图，用弧度表示终边落在阴影部分内(不包括边界)的角θ的集合． （2）在0°～720°中找出与终边相同的角． 题型3：扇形的弧长和面积公式 例3：已知扇形的周长为8 cm. (1)若该扇形的圆心角为2 rad，求该扇形的面积； (2)求该扇形的面积的最大值，并指出对应的圆心角． 针对训练 3.已知扇形的周长为4 cm，当它的半径为________，圆心角为________弧度时，扇形面积最大，这个最大面积是________． 重点三：三角函数的概念 8、设是一个任意大小的角，的终边上任意一点的坐标是，它与原点的距离是，则，，． 9、三角函数在各象限的符号：第一象限全为正，第二象限正弦为正， 第三象限正切为正，第四象限余弦为正． 10、三角函数线：，，． Pv x y A O M T 11、角三角函数的基本关系：；． 题型4：利用三角函数的定义求值 例4：已知角α的终边经过点P(4a，－3a)(a≠0)，则2sin α＋cos α＝________. 针对训练 4.已知点M是圆x2＋y2＝1上一点，以射线OM为终边的角α的正弦值为－，求cos α和tan α的值． 题型5：三角函数值的符号问题 例5：已知点P(sin θ，sin θcos θ)位于第二象限，那么角θ所在的象限是(　　) A．第一象限　　　　　B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 针对训练 5.若三角形的两内角α，β满足sin α·cos β＜0，则此三角形必为 (　　) A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．以上三种情况都有可能 题型6：利用三角函数的基本关系求值 例6：(1)若sinα＝－，且α是第三象限角，求cosα，tanα的值. (2)已知sinα＋cosα＝，α∈(0，π)，则tanα＝________. 针对训练 6. （1）已知tan α＝－2，求sin α，cos α的值 （2）已知＝2，计算下列各式的值． ①； ②sin2α－2sin αcos α＋1. 题型7：三角函数式的化简与证明 例7：(1)化简： . (2)求证：＝. 针对训练 7.(1) ＋ ，θ∈ （2）求证：2(1－sin α)(1＋cos α)＝(1－sin α＋cos α)2. 重点四：诱导公式 12、函数的诱导公式： ，，． ，，． ，，． ，，． 口诀：函数名称不变，符号看象限． ，．，． 口诀：正弦与余弦互换，符号看象限． 题型8：诱导公式求值（1） 例8：求下列各式的值： (1)cos ＋tan(－)； (2)sin 810°＋tan 765°－cos 360°. 针对训练 8.(1)tan 405°－sin 450°＋cos 750°； (2)sincos＋tancos. 题型9：诱导公式求值（2） 例9：求下列各三角函数的值： (1)sin(－945°)；(2)cos(－)； (3)sinπ·cos(－π)·tanπ. 针对训练 9.求下列各式的值： (1)tan＋cos＋sin； (2)cos(－120°)sin(－150°)＋tan 855°； (3)sin ·cos ·tan . 题型10：条件求值 例10：已知