第07讲 不等关系、不等式的基本性质、不等式的解集-【寒假自学课】2024年八年级数学寒假提升学与练（北师大版）

第07讲 不等关系、不等式的基本性质、不等式的解集 思维导图 核心考点聚焦 1.不等式的定义 2.列不等式 3.不等式的基本性质 4.利用不等式的基本性质解不等式 5.不等式的解 6.不等式的解集 1.不等式的概念：一般地，用“＜”、 “＞”、“≤”或“≥”表示大小关系的式子，叫做不等式．用“≠”表示不等关系的式子也是不等式． 特别说明： (1)不等号“＜”或“＞”表示不等关系，它们具有方向性，不等号的开口所对的数较大． (2)五种不等号的读法及其意义： 符号 读法 意义 “≠” 读作“不等于” 它说明两个量之间的关系是不相等的，但不能确定哪个大，哪个小 “＜” 读作“小于” 表示左边的量比右边的量小 “＞” 读作“大于” 表示左边的量比右边的量大 “≤” 读作“小于或等于” 即“不大于”，表示左边的量不大于右边的量 “≥” 读作“大于或等于” 即“不小于”，表示左边的量不小于右边的量 (3)有些不等式中不含未知数，如3＜4，-1＞-2；有些不等式中含有未知数，如2x＞5中，x表示未知数，对于含有未知数的不等式，当未知数取某些值时，不等式的左、右两边符合不等号所表示的大小关系，我们说不等式成立，否则，不等式不成立． 2.不等式的基本性质 不等式的基本性质1：不等式两边加(或减)同一个数(或式子)，不等号的方向不变． 用式子表示：如果a＞b，那么a±c＞b±c． 不等式的基本性质2：不等式两边都乘(或除以)同一个正数，不等号的方向不变． 用式子表示：如果a＞b，c＞0，那么ac＞bc(或)． 不等式的基本性质3：不等式两边乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变． 用式子表示：如果a＞b，c＜0，那么ac＜bc(或)． 特别说明： 不等式的基本性质的掌握注意以下几点： (1)不等式的基本性质是对不等式变形的重要依据，是学习不等式的基础，它与等式的两条性质既有联系，又有区别，注意总结、比较、体会． (2)运用不等式的性质对不等式进行变形时，要特别注意性质2和性质3的区别，在乘(或除以)同一个数时，必须先弄清这个数是正数还是负数，如果是负数，不等号的方向要改变． 3.不等式的解：能使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解. 4.不等式的解集：对于一个含有未知数的不等式，它的所有解组成这个不等式的解集． 注意： 不等式的解 是具体的未知数的值，不是一个范围 不等式的解集 是一个集合，是一个范围．其含义： ①解集中的每一个数值都能使不等式成立； ②能够使不等式成立的所有数值都在解集中 1.充分理解不等式的概念，特别注意的是用“≠”表示不等关系的式子也是不等式． 2.不等式的基本性质中，左右两边乘或除以不为0的数. 3.不等式的解与不等式的解集之间的区别与联系. 考点剖析 考点一、不等式的定义 例题：在下列数学表达式中，不等式的个数是（ ） ①；②；③；④；⑤． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【解析】不等式有：①；②；④；⑤；所以共有4个． 故选C． 【变式训练】 1．式子：①；②；③；④；⑤；⑥．其中是不等式的有（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【解析】①；②；⑤；⑥是不等式， ∴共个不等式． 故选． 2．下列式子：；；；；．其中是不等式的有（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【解析】不等式有；；，故选B． 考点二、列不等式 例题：将“x与3的和小于5”用不等式表示为 ． 【答案】 【解析】根据题意，得． 故答案为：． 【变式训练】 1．根据数量关系“x的2倍与y的差大于3”，列不等式： ． 【答案】 【解析】解∶ “x的2倍与y的差大于3”可表示为． 故答案为∶ ． 2．据气象台报道．2023年2月14日郑州市的最高气温为，最低气温为，则当天气温的变化范围是 ． 【答案】/ 【解析】由郑州市的最高气温为，最低气温为， 可得当天气温的变化范围是， 故答案为：． 考点三、不等式的基本性质 例题：下列不等式的变形正确的是（    ） A．由，得 B．由，得 C．由，得 D．由，得 【答案】D 【解析】A. 当时，，，故选项错误，不符合题意；     B. 当，，，故选项错误，不符合题意； C. 当，由，得，故选项错误，不符合题意；     D. 由，得，故选项正确，符合题意． 故选D． 【变式训练】 1．若，则下列结论成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】对于A选项，由，可得，原变形错误，不符合题意； 对于B选项，由，可得，原变形错误，不符合题意； 对于C选项，由，可得，原变形错误，不符合题意； 对于D选项，由，可得，原变形正确，符合题