第06讲 角平分线-【寒假自学课】2024年八年级数学寒假提升学与练（北师大版）

第06讲 角平分线 思维导图 核心考点聚焦 1.角平分线的性质定理 2.角平分线的判定定理 3.角平分线性质的实际应用 4.作角平分线（尺规作图） 1.角平分线的性质定理： 角平分线上的点到这个角的两边的距离相等. 定理的作用： ①证明两条线段相等；②用于几何作图问题； 2.角平分线的判定定理： 在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的角平分线上. 定理的作用： 用于证明两个角相等或证明一条射线是一个角的角平分线. 3.三角形的三条角平分线交点： 三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到三条边的距离相等. 作用：①用于证明三角形内的线段相等；②用于实际中的几何作图问题. 三角形的三条角平分线的交点位置与三角形形状的关系： 三角形三个内角角平分线的交点一定在三角形的内部. 4.运用角平分线的性质时应注意以下三个问题： （1）这里的距离指的是点到角的两边的垂线段的长； （2）该性质可以独立作为证明两条线段相等的依据，不需要再用全等三角形的性质； （3）使用该结论的前提条件是图中有角平分线、有两个垂直. 5.尺规作图画角平分线（题设中有关作图痕迹，要能识别角平分线的作法） （1）以点O为圆心，任意长为半径画弧，交OA、OB于C、D两点； （2）分别以C、D为圆心，大于CD长为半径画弧，两弧交于点P； （3）过点P作射线OP，射线OP即为所求. 1.角平分线的性质定理： 角平分线上的点到这个角的两边的距离相等. 2.角平分线的判定定理： 在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的角平分线上. 考点剖析 考点一、角平分线的性质定理 例题：如图，平分，交的延长线于点E，且． (1)求证：； (2)若，，求线段的长度． 【解析】（1）证明：过点D作于点F， ∵平分，，， ∴，， ∴在和中，， ∴， ∴， ∵ ∴； （2）设， ∵，， ∴， 在和中，， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， 解得， 即． 【变式训练】 1．已知：如图，在中，，是的角平分线，，垂足为点E，． (1)求的度数； (2)如果 ，，求四边形的周长． 【解析】（1），且， ， ， 是的角平分线，， ，, ． （2）是的角平分线，且，，， 在和中，， ， ，， ，， 四边形的周长为：． 2．如图，E是的平分线上一点，于C，于D，连接交于点F，若． (1)求证：是等边三角形； (2)若，求线段的长． 【解析】（1）证明：∵点E是的平分线上一点，，，垂足分别是C，D， ∴， 在与中，， ∴，∴， ∵，∴是等边三角形； （2）∵是等边三角形，是的平分线，∴， ∵，∴，∴， ∵，，∴， ∴，∴． 考点二、角平分线的判定定理 例题：如图，，两点分别在射线，上，点在的内部且，，，垂足分别为，，且． (1)求证：平分； (2)如果，，求的长． 【解析】（1）证明：由题意得： ，， ， 在和中， ， ， ， ，， 平分． （2）在和中， ， ， ， 设， ， ， ， ， ， ． 【变式训练】 1．如图，于E，于F，若．    (1)求证：平分； (2)写出与之间的等量关系，并说明理由． 【解析】（1）证明：∵，， ∴， ∴与 均为直角三角形， ∵在 与中， ∵， ∴, ∴， ∴平分； （2），理由如下： ∵，平分， ∴， ∵， ∴， 在 与中， ∵ ， ∴， ∴， ∴． 2．如图，P是上一点，于点D，于点E．F，G分别是上的点．．    (1)求证：是的平分线； (2)若，，．求的长． 【解析】（1）证明：在和中， ， ∴，∴， ∵于点D，于点E， ∴是的平分线 （2）∵平分，，∴， ∵，∴，∴， ∵，∴ ∵，∴． 考点三、角平分线性质的实际应用 例题：三条公路将三个村庄连成一个如图的三角形区域，如果在这个区域内修建一个集贸市场，要使集贸市场到三条公路的距离相等，那么这个集贸市场应建的位置是（    ） A．三条高的交点 B．三条中线的交点 C．三条角平分线的交点 D．三边垂直平分线的交点 【答案】C 【解析】在这个区域内修建一个集贸市场，要使集贸市场到三条公路的距离相等， 根据角平分线的性质，集贸市场应建在的角平分线的交点处， 故选C． 【变式训练】 1．如图是三条两两相交的笔直公路，某物流公司现要修建一个货物中转站，使它到三条公路的距离相等，这个货物中转站可选的位置有（    ）    A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】B 【解析】如图所示，    分别作直线交点处的角平分线，根据角平分线的性质，可得点共个点， 故选． 考点四、作角平分线（尺规作图） 例题：已知：如图，在中，，．        (1)求作的平分线，交于点P．（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）； (2)在（1）的条件下，求的角度？ 【解析】（1）以点