第04讲 平面向量的应用（4个知识点+方法练+创新练+成果练）-2024年高一数学寒假预习核心知识点与常见题型通关讲解练（人教A版2019必修第二册）

第04讲 平面向量的应用（4个知识点+方法练+创新练+成果练） 【目录】 【新知讲解】 知识点1.平面几何中的向量方法 知识点2.向量在物理中的应用举例 知识点3.余弦定理、正弦定理 知识点4.余弦定理、正弦定理的应用 【方法练】 【创新练】 【成果练】 【知识导图】 【新知讲解】 知识点1.平面几何中的向量方法 用向量方法解决平面几何问题的“三步曲” (1)建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题． (2)通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题． (3)把运算结果“翻译”成几何关系． 规律方法 用向量法解决平面几何问题的两种方法 (1)几何法：选取适当的基底(基底中的向量尽量已知模或夹角)，将题中涉及的向量用基底表示，利用向量的运算法则、运算律或性质计算． (2)坐标法：建立平面直角坐标系，实现向量的坐标化，将几何问题中的长度、垂直、平行等问题转化为代数运算． 总之，利用向量方法可以解决平面几何中的平行、垂直、夹角、距离等问题．利用向量解决平面几何问题时，有两种思路：一种思路是选择一组基底，利用基向量表示涉及的向量，另一种思路是建立坐标系，求出题目中涉及的向量的坐标．这两种思路都是通过向量的计算获得几何命题的证明． 例1．（2023·全国·高一随堂练习）用向量方法证明：菱形的两条对角线互相垂直． 例2．（2024上·河南新乡·高三新乡市第一中学校考阶段练习）如图，在中，已知，，，，边上的两条中线，相交于点P， (1)求； (2)求的正弦值. 例3．用向量的方法证明如图，在中，点E，F分别是AD和DC边的中点，BE，BF分别交AC于点R，T．你能发现AR，RT，TC之间的关系吗？    知识点2.向量在物理中的应用举例 (1)物理问题中常见的向量有力、速度、加速度、位移等． (2)向量的加减法运算体现在力、速度、加速度、位移的合成与分解． (3)动量mv是向量的数乘运算． (4)功是力F与所产生的位移s的数量积． 所以θ＝π. 规律方法 向量在物理中的应用 (1)求力向量、速度向量常用的方法：一般是向量几何化，借助于向量求和的平行四边形法则求解． (2)用向量方法解决物理问题的步骤： ①把物理问题中的相关量用向量表示； ②转化为向量问题的模型，通过向量运算使问题解决； ③结果还原为物理问题． 总之，用向量解决物理问题一般按如下步骤进行：①转化：把物理问题转化为数学问题；②建模：建立以向量为主体的数学模型；③求解：求出数学模型的相关解；④回归：回到物理现象中，用已获取的数值去解释一些物理现象． 例一、单选题 1．（2023上·广东佛山·高二统考期中）如图为某种礼物降落伞的示意图，其中有8根绳子和伞面连接，每根绳子和水平面的法向量的夹角均为，已知礼物的质量为，每根绳子的拉力大小相同．求降落伞在匀速下落的过程中每根绳子拉力的大小为（    ）（重力加速度） A． B． C． D． 2．（2022下·辽宁朝阳·高一校联考阶段练习）第24届冬季奥林匹克运动会，即2022年北京冬季奥运会，是由中国举办的国际性奥林匹克赛事．冰球运动是一种以冰刀和冰球杆为工具在冰上进行的相互对抗的集体性竞技运动，在冰球运动中，冰球运动员脚穿冰鞋，身着防护装备，以球杆击球，球入对方球门，多者为胜．小赵同学在练习冰球的过程中，以力 =(6，24)作用于冰球，使冰球从点A(1，1)移动到点B(6，11)，则对冰球所做的功为（    ） A．-210 B．210 C．-270 D．270 例二、填空题 3．（2023下·河南省直辖县级单位·高一河南省济源第一中学校考阶段练习）已知船在静水中的速度大小为，且知船在静水中的速度大小大于水流的速度大小，河宽为，船垂直到达对岸用的时间为，则水流的速度大小为 . 例三、解答题 4．（2023·全国·高一随堂练习）如图，在倾角为、高m的斜面上，质量为5kg的物体沿斜面下滑，物体受到的摩擦力是它对斜面压力的倍，N/kg．求物体由斜面顶端滑到底端的过程中，物体所受各力对物体所做的功，（参考数据，）． 知识点3.余弦定理、正弦定理 1．余弦定理 文字表述 三角形中任何一边的平方，等于其他两边的平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍 公式表达 a2＝b2＋c2－2bccos_A， b2＝a2＋c2－2accos_B， c2＝a2＋b2－2abcos_C 变形 cos A＝； cos B＝； cos C＝ 2．正弦定理及其变形 (1)定理内容： ＝＝＝2R(R为外接圆半径)． (2)正弦定理的常见变形： ①sin A∶sin B∶sin C＝a∶b∶c； ②＝＝＝＝2R； ③a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，c＝2Rsin C；