第六章 空间向量与立体几何（知识归纳+题型突破）-2023-2024学年高二数学单元速记·巧练（苏教版2019选择性必修第二册）

第六章 空间向量与立体几何（知识归纳+题型突破） 1.通过向量及其运算由平面向空间推广的过程，了解空间向量的概念. 2.掌握空间向量的线性运算(加法、减法和数乘)及其运算律. 3.掌握共线向量定理，会用共线向量定理解决相关问题． 4.了解空间向量的夹角及有关概念.掌握两个向量的数量积的概念、性质和计算方法. 5.了解空间向量投影的概念及投影向量的意义.会用投影向量计算空间两个向量的数量积． 6.了解共面向量的概念.理解空间共面向量定理，会证明直线与平面平行. 7.理解空间向量共面的充要条件，会证明空间四点共面． 8.掌握空间向量基本定理及其推论.会选择适当的基底表示任何一个空间向量． 9.在平面直角坐标系的基础上，了解空间直角坐标系，感受建立空间直角坐标系的必要性，会用空间直角坐标系刻画点的位置. 10.掌握空间向量的正交分解及其坐标表示.掌握空间向量的平行及线性运算的坐标表示. 11.掌握空间向量的数量积的坐标表示.能利用空间两点间的距离公式解决有关问题. 12.能用向量语言表述直线和平面.理解直线的方向向量与平面的法向量. 13.会求直线的方向向量与平面的法向量. 14.能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的平行、垂直关系. 15.能用向量方法判断或证明直线、平面间的平行、垂直关系. 16.能用向量方法解决简单夹角问题.通过空间向量解决夹角问题，体会向量方法在研究几何问题中的作用. 17.能用向量方法解决点到直线、点到平面、相互平行的直线、相互平行的平面及线面间的距离问题. 18.通过空间中距离问题的求解，体会向量方法在研究几何问题中的作用. 1．空间向量的定义及表示 定义 在空间，把既有大小又有方向的量，叫作空间向量． 长度或模 空间向量的大小叫作空间向量的长度或模 表示方法 几何表示 与平面向量一样，空间向量也可用有向线段表示 符号表示 表示空间向量的有向线段，若以A为起点，B为终点，则记作，其模记作|| 空间向量常用一个小写字母表示.如：向量a，b，其模分别记为|a|，|b| 注意点： (1)平面向量是一种特殊的空间向量． (2)两个向量相等的充要条件为长度相等，方向相同． (3)向量不能比较大小． 2．几类特殊的空间向量 名称 定义及表示 零向量 规定长度为0的向量称为零向量，记作0 单位向量 长度等于1个单位长度的向量，叫作单位向量 相反向量 与向量a长度相等，方向相反的向量，叫作a的相反向量，记作－a 相同的向量 所有长度相等且方向相同的向量都看作相同的向量，向量a与b是相同的向量，也称a与b相等. 3.空间向量及其线性运算 空间向量的加法和数乘运算满足如下运算律： ①a＋b＝b＋a； ②(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)； ③λ(a＋b)＝λa＋λb(λ∈R). 向量的加法、减法和数乘运算统称为向量的线性运算. 4.共线向量及共线向量定理 (1)共线向量(平行向量) 如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，那么这些向量叫作共线向量或平行向量. 向量a与b平行，记作a∥b. 规定零向量与任意向量共线. (2)共线向量定理 对空间任意两个向量a，b(a≠0)，b与a共线的充要条件是存在实数λ，使b＝λa. 5.空间向量的夹角 定义 a，b是空间两个非零向量，过空间任意一点O，作＝a，＝b，∠AOB＝θ(0≤θ≤π)叫作向量a与向量b的夹角，记作〈a，b〉 范围 0≤〈a，b〉≤π 特殊夹角 (1)如果〈a，b〉＝0，a与b同向； (2)如果〈a，b〉＝π，a与b反向； (3)如果〈a，b〉＝，a与b互相垂直，记作a⊥b. 6.空间向量的数量积 (1)定义：设a，b是空间两个非零向量，数量|a‖b|cos 〈a，b〉叫作向量a，b的数量积，记作a·b，即a·b＝|a‖b|cos__〈a，b〉. (2)性质：①规定：零向量与任一向量的数量积为0. ②空间两个非零向量a，b的夹角〈a，b〉可以由cos 〈a，b〉＝求得. ③a⊥b⇔a·b＝0(a，b是两个非零向量)，|a|2＝a·a＝a2. (3)运算律：与平面向量一样，空间向量的数量积也满足下列运算律： ①a·b＝b·a； ②(λa)·b＝λ(a·b)(λ∈R)； ③(a＋b)·c＝a·c＋b·c. 7.空间向量的投影向量 (1)向量a在向量b上的投影向量 ①定义：对于空间任意两个非零向量a，b，设向量＝a，＝b(如图)，过点A作AA1⊥OB，垂足为A1，上述由向量a得到向量的变换称为向量a向向量b投影，向量称为向量a在向量b上的投影向量. ②意义：a·b＝·b，即向量a，b的数量积就是向量a在向量b上的投影向量与向量b的数量积. (2)向量m在平面α上的投影向量 ①定义：如图