(二)空间向量的应用-【衡水金卷·先享题】2024-2025学年高二数学选择性必修2同步周测卷（新高考苏教版）

高二同步周测卷/数学选择性必修第二册 《二1空间向量的应用 (考试时时40分钟，离分100分》 一，选择盟（本题共8小题，每小题5分，共0分。在每小题给出的四个达项中，只有 项是符合题目要求的) ,已知直线4的一个方向向量为m=(一1,2,1)，平面a的一个法向量为#= (2,一4，)2∈R),若/⊥ù，则/曰 A.-10 且一2 C.2 D.10 2.已知平面：内的两个向量分判为a一2,3,1)，b一(5,5,4)，划学面：的一个法向量为 A,(1,-1,1) 且12.-1.11C.-2,1,1)D.《-1,1,1） 3,已知A.B,C.D是空间不其面的四点.端是Ai·AC=0,AC·AD=0,AB,AD=0, M为BC的中点，则△AD的形状为 A.等腰三角形技锐角三角形 C.直角三角形 D.钝角三角形 4,在棱长为1的正方体ABD一A,BCD中，E,F分别是C,CD的中点，期直线BD 到平而EFDB,的距离为 A A号 c D 五，如图，二面角g一1一9的大小为号，在校！上取线段AB-,线段AC,BD分别在平 面a品内，且AC⊥1，BD⊥，若C-1,D-2,则CD的长为 A.6 且10 C,0 D.10 低，古代城油中的瓷城”，又叫“曲迪”，是加装在城门前面或里面的义一层门，若敌人或 入瓮城中，可形成“凳中提繁”之势.如图的“曲泡”是上，下底面均为半圆形的柱体，若 AA,垂直于半圆柱下底面半圆所在平面，AA=3,AB=4,CD=2,E为AB的中 点，则直线CE与平面DEB,所成角的正弦值为 一越楼 21 A23 C32 21 D. 21 政学（苏较板}选择性必修第二供第1西（共4面 衡水金卷·先摩用 二、港择题（本题共2小题，每小题6分，共12分。在每小题给出的选项中，有多项符合 圈目要求。全第选对的得6分，深分选对的得部分分，有选错的得0分) 7.已知平面：2的法向量分别为m=(一1，一1,1)，a=(1.1.一1)，直线（的方向向量 为c=(1,0,1》,且亡3.则下列结论正确的是 A.m∥3 且1∥a C.La D.o18 情.立体儿何中有基多立体图形都体现了数学的对称美，其中半正多面休是由两种或两 种以上的正多边形圆成的多面体，半正多面体因其最早由阿基米德研究发现，故也被 你作阿基米德体.如图，这是一个棱数为4，棱长为，2的半正多面体，它的所有顶点 都在同一个正体的表面上，可以若成是由一个正方体载去八个一样的四面体所得， 若点E为棱BC上的动点，期下判说法正确的是 A,存在点E,处得A,F,D,E四点共面 B年在点E,使得DE⊥DF C.存在点E.使得直线DE与平面CDF所成角为景 D存在点，使得直线DE与直线AF所成角的余弦值为治 班级 姓名 分数 遵号 1 答睾 三、填空题（本题北2小题，每小题5分，共10分） 9.若平面…3分别经过坐标原点O和点A2,1,1),a∥3.且两平面的一个法向量为 (一1,0,1》，则平面“到平面3的距离为 10.在棱长为1的正方体ABCD一A,BC)中，M,N分别是AD,B,B的中点，动点P 在底面正方形A(D内（包括边界）运动，若B,P∥平面AN,划CP长度的最大 值为 四、解答题（本题共3小题，共48分。解答应写指必要的文字说明，证明过程或演算步蜜） 11.(本小题调分13分) 在正四棱柱ABCD一ABCD,中，AA,=2AB=4,点E在棱C℃，上，且C C下，点F为BD的中点. (1)求点D,到直线EF的E离： (2)求证：A,C⊥平面BDE. 高二网步周测移日 雕学（苏较服） 透择性必修第二西氧2面（共4面 12.(本小题满分15分) 13.(本小题满分20分) 如图，在底面为菱形的直四棱柱ABCD-A,,CD中，∠队D-爱Ad,一AB 如图，在五面体ABCDEF中，AF⊥平面ABCD,AD/BC∥FE,AB⊥AD,AF=AB 2.E.F,G分别是BB1.CC,DD的中点 =BC=FE=号D, (I)求证，AE∥GC, (1)求异面直线BF与DE所成角的余弦值： (2求平面A:E下与平面ABCD所成战二售角的大小， (②)在花CE上是香存在点M,使直线AM与半面CDE所成角的正弦值为？若 存在，试确定点的位置，若不存在，请说明理由， 数学（苏较板}选择性必修第二氧3西（共4面 衡水金参·先摩·商二网步周测卷已 雕学（苏较吸）透择性必修第二西？：面（携4面）高二周测卷 ·数学（苏教版）选择性必修第二册· 高二同步周测卷/数学选择性必修第二册（二） 品题要素一览表 注： 1.能力要求： I,抽象概括能力Ⅱ，推理论证能力Ⅲ，运算求解能力下，空何想象能力V,数据处理能力 川，应用意识和创新意识 2.学科素养： ①数学抽象 ②罗辑推理③数学建摸 ①直观想象⑤数学运算⑥数据分析 分 知识点 能力要求 学科素养 预估难度 题号 题型 值 (主题内容) Ⅲ N ① ② ③① ⑥ 档次系数 1 选择题 5 由线面垂直求参 易 0.80 2 选择题 求平面的法向量 易 0.72 利用空间向量判断三 3 选择题 5 角形形状 勿 0.70 5 利用空间向量求线 4 选择题 面距 分 0.55 5 选择题 二面角，利用空间向量 0.45 求线段的长 选择题 利用空间向量求线面 0.30 角的正弦值 7 选择题 利用空问向量判断位 6 0.70 置关系 多 选择题 利用空间向量解决存 8 6 0.28 在性问题 妆 9 填空题 5 求两平面间的距离 易 0.71 10 填空题 由线面平行求线段长 中0.5 度的最值 11 解答题 利用空间向量求点线 13 L 中 0.60 距，证明线面垂直 12 利用空问向量证明线 解答题 15 √ √ 0.45 线平行，求二面角 利用空间向量求异面 直线所成角的余弦值， 13 解答题 20 中0.30 由线面角的正弦值确 定点的位置 ·59· ·数学（苏教版）选择性必修第二册· 参考答案及解析 香考管案及解析 一、选择题 BD士平面EFDB,BD,C平面EFD,B,,所以BD 1.B【解折】因为山a:所以m/,所以号=号 ∥平面EFD,B,所以直线BD到平面EFD,B,的距 离即为点B到平面EFD,B,的距离，所以直线 二，解得1=一2，故选B. BD到平面EFD,B,的距离d=E亩：nl= n 2.C【解析】由题可得a与b不平行，设平面a的一个 法向量为n=(红y,),则0·n=2x十3y十：=0 ×(-2) 1 b·n=5x+6y十4x=01 /(-2)+2+1 故选D. 令=1，得x=一2，y=1,所以n=(-2,1,1).故 5,C【解析】由题得CD=CA+Ai+Bd,且CA⊥AB. 选C. 3.C【解析】：M为BC的中点∴A府=号(A店+ Bi1A成，(Ci,Bi=元-号=，所以C市 (CA+AB+BD)-CA+Ai+B市+2Ci·Ai AC)Ai·AD=(AB+AC)·AD=AB, +2Bi.AB+2CA·BD=1+(5)+2+0+0 AD+号AC.Ad=0,AMLAD,:△AMD为直 +2×1X2×(-)=6,所以1D1=6,即CD的 角三角形.故选C 长为6.故选C 6.D【解析】在半圆柱下底面半圆所在平面内过点A 作直线AB的垂线，因为AA:垂直于半圆柱下底面 半圆所在平面，所以以A为原点，AB,AA的方向分 别为y轴、x轴正方向建立如图所示的空间直角坐 标系， 4.D【解析】以D为原点，DA,D心，DD的方向分别为 x轴、y轴、：轴正方向建立如图所示的空间直角坐 标系， 则C(0,3,0),D(0,1,0),B(0,4,3),又因为E为 A1B的中点，则E(2,2,3),故B1E=(2,-2,0), BD=(0,-3,-3),C正=(2，-1,3)，设平面DEB的 法向量为#=（xy,之)，则 B,E·n=2x-2y=0 Bi·n=-3y-3z=0 则B(1,1,0),E(号1,0），B(1,11),D,(0,0,1D 令x=1,得y=1,z=-1,则n=(1,1,一1)，设直线CE 与平面DEB所成的角为a,则in0=|cos(C克，n>= 所以E弦=(}0,0），BD=(-1,-1,0),B它 CE·nl 12-1-31 1CE11nl√2+（-1)+3×+1+（-1) (-号，0，-1），设平面EFD,B的法向量为n=(x -42 ,则”·月D-0 -x一y=0 VTX3 21 所以直线CE与平面DEB,所 n·BE=0 即 一x一=0令1，得 1 成角的正弦值为 2.故选D. x=-2,y=2,则n=(-2,2,1),因为BD∥BD, ·60. 高二周测卷 ·数学（苏教版）选择性必修第二册· 二、选择题 7.AB【解析】因为m=(一1，一1,1)，n= 3,故D正确，枚选ABD, (1,1,一1)，所以m=一n,所以a∥3，故A正确：因 、填空题 为c·n=0,l亡3，所以l∥B,故B正确：因为c·m= 号 【解析】因为a∥3，所以平面a到平面？的距离 0,所以l∥a或l二a,故C错误：因为m·n=一3≠0， 所以平面a与B不互相垂直，故D错误，故选AB. 即为点O到平面B的距离，因为OA=(2,1,1),所以 8.ABD【解析】将半正多面体补成一个棱长为2的正 方体，则半正多面体的所有顶点都是正方体的棱的中 平面。到平面日的距离d=n,OA n 点，以O为原点，过O的三条棱所在直线分别为x 1-1×2+0×1+1×1山= 轴，y轴，：轴，建立如图所示的空间直角坐标系， /(-1)+0+1 2 10.平 【解析】以A为原点，AB,AD,AA的方向分 别为x轴，y轴，：轴正方向，建立如图所示的空间直 角坐标系， 则A(2,1,0),F(2,2,1),B(1,0,2),C(0,1,2), D D(1,2,2),对于A项，当点E与点C重合时，FD (-1,0,1),AE=(-2,0,2),则AE=2FD,又因为 B A,F,D,E四点不共线，则AE∥DF,则A,F,D,E四 点共面，故A正确：对于B项，当点E与点B重合时， 则A(0,0.1),B(1.0,1).M(0,0）,N(1.0, DE=(0,-2,0),则D元.Fi=0,即DE⊥DF,故B 之）小，C11,0).因为动点P在底面正方形ABCD 正确：对于C项，设B求=ABC,入∈[0,1]，则D 内（包括边界）运动，则设P(x,y,0),x,y∈[0,1门， Di+B2=Di+aBC=(0,-2.0)+A(-1.1,0)= (一入，A一2,0)，设平面CDF的法向量为n= 所以B,户=(x-1,y,-1),设平面AMN的法向量 (x,,2),C市=1,1,0).C序=(2,1，-1)，则 为n=(a,6e,又AN=(1.0,-）,Ai= (n.CD=x+y=0 nC亦=2十y文=0令x=1.得y=-1=1,则 (0,-1)则 N·n=a-合c=0 ,令c=2,得 n=(1,-1,1),设直线DE与平面CDF所成的角为9， Ai:n=号6-e=0 则n0=,n·D 一A+2-A a=1,b=4,则n=(1,4,2),因为BP∥平面 |n·1DE5×√-a)+a-2) AMN,所以B,P·n=(x-1,y,-1)·(1,4,2)= -号，化简得0-2以+10=04=有-40=-3药<0. x-1十4y-2=0,即x十4y-3=0.则x=-4y+3 此方程无解，故不存在点E,使得直线DE与平面 ∈[o1,所以[宁，]1 CDF所成的角为号，故C错误，对于D项，A萨= /(x-1)+(y-1)+0=√17y-18y+5 (01,1),由C项可知，D求=(-入-2,0)，所 √17(y一号)广+音，由二次函数的性质可得当y 以osA亦，Di1=,AF·D |AF1·IDEI 合时，=当y=时，1剂=平，因为 1A-21 35 2·√(-)+(A-2)7 0,整理可得2以+A 平>合，所以P长度的最大值为平 四、解答题 1=0,因为x∈[0,1]，所以入=7，即当点E为BC 11,解：(1)以D为原点，Di,D心，DD的方向分别为x 的中点时，直线DE与直线AF所成角的余弦值为 轴、y轴、：轴正方向，建立如图所示的空间直角坐 ·61✉ ·数学（苏教版）选择性必修第二册· 参考答案及解析 标系， (1)因为AE=(3,-1,-1),GC=(3,-1,-1), 所以AE/GC,即AE∥GC (7分) D (2)EF=(0,2,0), 设平面AEF的法向量为n=(x,y,2), 则"~A龙=x-y一=0 n.EF=2y=0 取x=1,则y=0,=√5， 所以n=(1,0,3), (11分) 易知AA=(0,0,2)为平面ABCD的一个法向量. (12分) 设平面AEF与平面ABCD所成锐二面角为9， 则D1(0,0,4),E(0,2,1),F(1,1,0),C(0,2,0), 则sg=1oam1==调 AA B(2,2,0),A(2,0,4),D(0,0,0). 所以ED=(0,-2,3),EF=(1,一1，-1)，(4分) 则点D到直线EF的距离为d 所以平面AEF与平面ABCD所成锐二面角的大 ED- ED,·EF -√（层- 小为要 (15分) (6分) 13.解：(1)以A为原点，AB,AD,AF的方向分别为x (2)由(1)可得A1C=(-2,2,-4),DB=(2,2,0), 轴、y轴、：轴正方向，建立如图所示的空间直角坐 DE=(0,2,1), 标系， 因为AC.DB=-2×2+2×2=0,AC.DE=2× 2十(-4)×1=0， 所以A:C⊥DB,AC⊥DE, (11分) 又DB∩DE=D,DB.DEC平面BDE, 所以AC⊥平面BDE. (13分) 12,解：取BC的中点H,连接AH,AC, 不妨设AB=1, 因为四边形ABCD为菱形，∠BAD-三。 则B(1,00),C(1,1,0),D(0,30),F(0,0,1), 所以△ABC为等边三角形， E(0,1.1),A(0,0.0), 所以AH⊥BC, 所以BF=(-1,0,1),D求=(0，-2,1)，CD= 又BC∥AD,所以AH⊥AD, (2分) (-1,2,0),CE=(-1,0,1) (4分) 易知AA⊥平面ABCD. 设异面直线BF与DE所成的角为0， 所以AH,AD,AA两两垂直， 则以A为原点，Ai,AD,AA的方向分别为x轴、y 则cos0=|os萨，D克1=本.D斗 BFI DE|2×5 轴、轴正方向建立如图所示的空间直角坐标系， =10 10 所以异面直线BF与DE所成角的余弦值为@ 10 (10分) (2)设平面CDE的法向量为n=(x,y,z), 则/n·Ci=0 -x+2y=0 n.DE=0' 即 1-2y+:=01 令y=1,得x=2,2=2,故n=(2,1,2),(12分) 则A(0,0,0),A(0,0,2),E(3,-1,1).G(0,2, 设存在点M(x1,y,)满足条件， 1),C(5,1,0),F(5,1,1) (4分) 由CM=λCE,A∈[0,1]，得x=1-X,M=1, ·62· =A, 整理得4x-4入十1=0，a∈[0,1门， 故M(1-A,1,a), (18分) 所以AM=(1-入，1，A) (14分) 解得入=之 设直线AM与平面CDE所成的角为a, 故当点M为CE的中点时，直线AM与平面CDE 所以如日=10sA成m>1=A立：n= 所成角的正弦值为气。 (20分) AM 2(1-A)+1+2x=6 3×√/(1-1)+1十X积 3