第六章 空间向量与立体几何（压轴题专练）-2023-2024学年高二数学单元速记·巧练（苏教版2019选择性必修第二册）

第六章 空间向量与立体几何（压轴题专练） 题型一　共面向量定理的应用 【例1】已知E，F，G，H分别是空间四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA的中点，求证： (1)E，F，G，H四点共面； (2)BD∥平面EFGH. 思维升华　 证明空间四点P，M，A，B共面的等价结论 (1)＝x＋y； (2)对空间任一点O，＝＋x＋y； (3)对空间任一点O，＝x＋y＋z(x＋y＋z＝1)； (4)∥(或∥或∥). 巩固训练 1. 已知i，j，k是三个不共面的向量，＝i－2j＋2k，＝2i＋j－3k，＝λi＋3j－5k，且A，B，C，D四点共面，求λ的值. 题型二　空间向量基本定理的应用 【例2】如图，在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，以顶点A为端点的三条棱的长度都为1，且两两夹角为60°. (1)求AC1的长； (2)求BD1与AC所成角的余弦值. 思维升华　 用空间向量基本定理解决立体几何问题的步骤：首先根据已知条件，确定三个不共面的向量构成空间的一个基底，如果存在三个两两垂直的空间向量也可以确定一个单位正交基底.然后根据三角形法则及平行四边形法则，结合相等向量的代换、向量的运算用确定的基底(或已知基底)表示目标向量，最后把空间向量的运算转化为基向量的运算. 巩固训练 1. 在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，设＝a，＝b，＝c，E，F分别是AD1，BD的中点. (1)用向量a，b，c表示，； (2)若＝xa＋yb＋zc，求实数x，y，z的值. 题型三　平面法向量的应用 【例3】已知A(1，2，3)，B(1，－1，－2)，C(－1，0，0). (1)写出直线BC的一个方向向量； (2)设平面α经过点A，且是α的一个法向量，M(x，y，z)是平面α内任意一点，试写出x，y，z满足的关系式. 思维升华　 在空间直角坐标系中，平面可以用关于x，y，z的三元一次方程来表示，具体步骤为：①求出平面的一个法向量；②求出平面内任意一点(x，y，z)与平面α内的一个已知点组成的向量；③利用平面的法向量与平面内任意一个向量垂直建立等量关系求解. 巩固训练 1. 在空间直角坐标系中，设平面α经过点P(－1，2，－2)，平面α的一个法向量为n＝(－1，1，2)，M(x，y，z)是平面α内任意一点，求x，y，z满足的关系式. 题型四　　立体几何中的探索性问题 【例4】如图，正方形ADEF所在平面和等腰梯形ABCD所在的平面互相垂直，已知BC＝4，AB＝AD＝2. (1)求证：AC⊥BF； (2)在线段BE上是否存在一点P，使得平面PAC⊥平面BCEF？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 思维升华　 解决立体几何中探索性问题的基本方法 (1)通常假设题中的数学对象存在(或结论成立)，然后在这个前提下进行逻辑推理. (2)探索性问题的关键是设点：①空间中的点可设为(x，y，z)；②坐标平面内的点其中一个坐标为0，如xOy面上的点为(x，y，0)；③坐标轴上的点两个坐标为0，如z轴上的点为(0，0，z)；④直线(线段)AB上的点P，可设为＝λ，表示出点P的坐标，或直接利用向量运算. 巩固训练 1.如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，O为底面ABCD的中心，P是DD1的中点，设Q是CC1上的点，问：当点Q在什么位置时，平面D1BQ∥平面PAO? 题型五　空间向量的概念及运算 【例5】(1)判断下列各命题的真假：①向量a与b平行，则a与b的方向相同或相反；②两个有共同起点而且相等的向量，其终点必相同；③零向量是没有方向的；④向量就是有向线段.其中假命题的个数为(　　) A.2 B.3 C.4 D.5 (2)如图所示，在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，以顶点A为端点的三条棱长都为1，且两两夹角为60°. ①求的长； ②求与夹角的余弦值. 巩固训练 1. (多选)如图，在四棱锥S－ABCD中，底面ABCD是边长为1的正方形，S到A，B，C，D的距离都等于2.以下结论正确的是(　　) A.＋＋＋＝0 B.(－)·(－)＝0 C.－＋－＝0 D.·＝· 题型六　利用空间向量证明位置关系 【例6】如图，正方形ADEF与梯形ABCD所在的平面互相垂直，AD⊥CD，AB∥CD，AB＝AD＝2，CD＝4，M为CE的中点. (1)求证：BM∥平面ADEF； (2)求证：BC⊥平面BDE. 巩固训练 1.如图，四边形ABCD为正方形，PD⊥平面ABCD，PD∥QA，QA＝AB＝PD. (1)证明：平面PQB⊥平面DCQ； (2)证明：PC∥平面BAQ. 题型七　利用空间向量求距离 【例7】 已知四边形ABCD是边长为4的正方形，E，F分别是AB，AD的中点，CG垂直于正方形ABCD所在的平面，且CG＝2，求点B到平面EFG的距