第六章 空间向量与立体几何（单元重点综合测试，2024新结构题型）-2023-2024学年高二数学单元速记·巧练（苏教版2019选择性必修第二册）

第六章 空间向量与立体几何（单元重点综合测试） 一、单项选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1.已知空间向量a＝(1，n,2)，b＝(－2,1,2)，若2a－b与b垂直，则|a|等于(　　) A. B. C. D. 2.已知平面α上的两个向量a＝(2,3,1)，b＝(5,6,4)，则平面α的一个法向量为(　　) A．(1，－1,1) B．(2，－1,1) C．(－2,1,1) D．(－1,1,1) 3.若向量a＝(1，λ，2)，b＝(2，－1，2)，且a与b的夹角的余弦值为，则λ＝(　　) A.2 B.－2 C.－2或 D.2或－ 4.已知a＝(2，－1，3)，b＝(－1，4，－2)，c＝(1，3，λ)，若a，b，c三向量共面，则实数λ等于(　　) A.1 B.2 C.3 D.4 5.如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，以D为原点建立空间直角坐标系，E为BB1的中点，F为A1D1的中点，则下列向量中，能作为平面AEF的法向量的是(　　) A．(1，－2,4) B．(－4,1，－2) C．(2，－2,1) D．(1,2，－2) 6.如图所示，在空间直角坐标系中，BC＝4，原点O是BC的中点，点A，点D在平面yOz内，且∠BDC＝90°，∠DCB＝30°，则AD的长为(　　) A. B. C. D. 7.在四棱锥P－ABCD中，＝(4，－2，3)，＝(－4，1，0)，＝(－6，2，－8)，则这个四棱锥的高h等于(　　) A.1 B.2 C.13 D.26 8．在棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别为棱AA1，BB1的中点，G为棱A1B1上的一点，且A1G＝λ(0<λ<2)，则点G到平面D1EF的距离为(　　) A．2 B. C. D. 二、多项选择题(本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得3分，有选错的得0分) 9．如图，已知E是棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1的棱BC的中点，F是棱BB1的中点，设点D到平面AED1的距离为d，直线DE与平面AED1所成的角为θ，二面角D1－AE－D的夹角为α，则(　　) A．DF⊥平面AED1 B．d＝ C．sin θ＝ D．cos α＝ 10.如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，底面ABC是等边三角形，侧棱AA1⊥底面ABC，D为AB的中点，若AB＝2，AA1＝，则(　　) A.CD⊥A1D B.异面直线A1D与AC1所成角的余弦值为 C.异面直线A1D与AC1所成角的余弦值为 D.CD∥平面AB1C1 11．如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，点P在线段B1C上运动，则(　　) A．直线BD1⊥平面A1C1D B．三棱锥P－A1C1D的体积为定值 C．异面直线AP与A1D所成的角的取值范围是 D．直线C1P与平面A1C1D所成角的正弦值的最大值为 三、填空题(本题共3小题，每小题5分，共15分) 12．已知在正四棱台ABCD－A1B1C1D1中，上底面A1B1C1D1的边长为1，下底面ABCD的边长为2，侧棱与底面所成的角为60°，则异面直线AD1与B1C所成的角的余弦值为________． 13.如图所示，已知正四面体A－BCD中，AE＝AB，CF＝CD，则直线DE和BF所成角的余弦值为________. 14.已知a＝(－2，1，3)，b＝(－1，2，1)，a与b夹角的余弦值为________. 四、解答题(本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 15.(本小题满分13分) 如图，在正四棱锥V－ABCD中，E为VC的中点，正四棱锥的底面边长为2a，高为h. (1)求∠DEB的余弦值； (2)若BE⊥VC，求∠DEB的余弦值. 16.(本小题满分15分) 如图，在四棱锥P－ABCD中，PD⊥底面ABCD，底面ABCD为正方形，PD＝DC，E，F分别是AB，PB的中点． (1)求证：EF⊥CD； (2)在平面PAD内求一点G，使GF⊥平面PCB，并证明你的结论． 17.(本小题满分15分) 如图，在四棱锥P－ABCD中，PD⊥底面ABCD，底面ABCD为正方形，PD＝DC，E，F分别是AB，PB的中点. (1)求证：EF⊥CD； (2)在平面PAD内求一点G，使GF⊥平面PCB，并证明你的结论. 18.(本小题满分17分) 如图，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，AD⊥AB，AB∥DC，AD＝DC＝