第4讲 勾股定理（一）2023-2024学年人教版八年级数学下册

第4讲 勾股定理 【教学目标】： 1. 掌握勾股定理，了解利用拼图验证勾股定理的方法。 2. 运用勾股定理进行有关的计算和解决实际问题。 【教学重难点】： 运用勾股定理进行有关的计算和解决实际问题。 【考点解析】 考点一 勾股定理的证明 探究1 设直角三角形的直角边长分别为a，b，斜边长为c，以直角三角形的三边为边长向外作三个正方形，如图1、图2，每个方格的面积均为1，请填表． 勾股定理：直角三角形两直角边a、b 的平方和等于斜边c 的平方。如果直角三角形两直角边分别为a、b,斜边为c，那么。 1. 强调说明：勾——最短的边、股――较长的直角边、弦――斜边 在运用勾股定理计算三角形的边长时，要注意如下三点： （1）注意勾股定理的使用条件：只对直角三角形适用。 （2）注意分清斜边和直角边，避免盲目代入公式致错； （3）注意勾股定理公式的变形：在直角三角形中，已知任意两边，可求第三边长． 即c2=a2＋b2，a2= c2－b2，b2= c2－a2． （4）若直角三角形的三边都是整数，则称这三个数叫勾股数。常见的勾股数：①3，4，5；②6，8，10；③5，12，13 探究2 勾股定理的证明方法很多，常见的是拼图的方法，用拼图的方法验证勾股定理的思路是： ①图形经过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变 ②根据同一种图形的面积不同的表示方法，列出等式，推导出勾股定理 常见方法如下： （1） 利用四个全等的直角三角形可以拼成如图所示的图形，人们称为“赵爽弦图”，观察图形，试说明： （2）据传当年毕达哥拉斯借助如图所示的图形验证了勾股定理，你能说说其中的道理吗？（毕达哥拉斯拼图） 【例1】 在Rt△ABC中，∠C=90° （1） 已知a=6，c=10，求b。 （2） 已知a=40，b=9，求c； （3） 已知c=25，b=15，求a. 【例2】 一个门框的尺寸如图所示，一块长3m，宽2.2m的长方形薄木板能否从门框内通过？为什么？ 【例3】 直角三角形两直角边长分别为5和12，则它斜边上的高为_______． 【例4】 如图，已知：在△ABC中，∠B=60°，AC=70，AB=30。求BC的长. 针对练习1 1. 一直角三角形的两边长为5和3，则第三边的长为__________。 2. 如图，图中所有的三角形都是直角三角形，四边形都是正方形。已知正方形A，B，C，D的边长分别是12，16，9，12，最大正方形E的面积_________。 3. 如图，点E在正方形ABCD内，若∠AEB=90°，AE=6，BE=8，求阴影部分的面积。 4. 如图，在四边形ABCD中，CD⊥AD，AD=CD=3，∠BAD=135°，AB=6，求BC的长。 5. 如图，等边三角形的边长是6，求： （1） 高AD的长；（2）这个三角形的面积。 6. 如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，BD是∠ABC的平分线，AD＝20，求BC长． 考点二 勾股定理的运用 【例1】 如图所示，夏令营活动中，小明从营地A点出发，沿北偏东60°方向走了m到达B点，然后再沿北偏西30°方向走了500m到达目的地C点。 （1） 求A、C两点之间的距离。 （2） 确定目的地C在营地A的什么方向。 【例2】 如图，一架2.6m长的梯子AB斜靠在一竖直的墙AO上，这时AO为2.4m。如果梯子的顶端A沿墙下滑0.5m，那么梯子底端B也外移0.5m吗？ 【例5】 如下图，今年的冰雪灾害中，一棵大树在离地面3米处折断，树的顶端落在离树杆底部4米处，那么这棵树折断之前的高度是 米. 【例3】 如图，一圆柱体的底面周长为20cm，高ＡＢ为4cm，BC是上底面的直径．一只蚂蚁从点A出发，沿着圆柱的侧面爬行到点C，试求出爬行的最短路程． 针对练习2 1. 在一个直角三角形中，若斜边的长是13，一条直角边的长为12，那么这个直角三角形的面积是（ ） A 30 B 40 C 50 D 60 2. 一直角三角形的三边分别为2、3、x，那么以x为边长的正方形的面积为（ ） A.13 B 5 C 13或5 D 4 3. 在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝45°，c＝10，则的长为（ ） A 5 B C D 4. 如图，AB⊥