重难点05 二次函数与几何的动点及最值、存在性问题（14题型）-2024年中考数学一轮复习讲练测（全国通用）

重难点突破05 二次函数与几何的动点及最值、存在性问题 目 录 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 1 / 28 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 题型01 平行y轴动线段最大值与最小值问题 题型02 抛物线上的点到某一直线的距离问题 题型03 已知点关于直线对称点问题 题型04 特殊角度存在性问题 题型05 将军饮马模型解决存在性问题 题型06 二次函数中面积存在性问题 题型07 二次函数中等腰三角形存在性问题 题型08 二次函数中直角三角形存在性问题 题型09 二次函数中全等三角形存在性问题 题型10 二次函数中相似三角形存在性问题 题型11 二次函数中平行四边形存在性问题 题型12 二次函数中矩形存在性问题 题型13 二次函数中菱形存在性问题 题型14 二次函数中正方形存在性问题 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 二次函数常见存在性问题： （1）等线段问题：将动点坐标用函数解析式以“一母式”的结构表示出来，再利用点到点或点到直线的距离公式列出方程或方程组，然后解出参数的值，即可以将线段表示出来. 【说明】在平面直角坐标系中该点在某一函数图像上，设该点的横坐标为m，则可用含m字母的函数解析式来表示该点的纵坐标，简称“设横表纵”或“一母式”. （2）平行y轴动线段最大值与最小值问题：将动点坐标用函数解析式以“一母式”的结构表示出来，再用纵坐标的较大值减去较小值，再利用二次函数的性质求出动线段的最大值或最小值. （3）求已知点关于直线对称点问题：先求出直线解析式，再利用两直线垂直的性质（两直线垂直，斜率之积等于-1）求出已知点所在直线的斜率及解析式，最后用中点坐标公式即可求出对称点的坐标. （4）“抛物线上是否存在一点，使其到某一直线的距离为最值”的问题：常常利用直线方程与二次函数解析式联立方程组，求出切点坐标，运用点到直线的距离公式进行求解. （5）二次函数与一次函数、特殊图形、旋转及特殊角度综合：图形或一次函数与x轴的角度特殊化，利用与角度有关知识点求解函数图像上的点，结合动点的活动范围，求已知点与动点是否构成新的特殊图形. 2.二次函数与三角形综合 (1)将军饮马问题:本考点主要分为两类： ①在定直线上是否存在点到两定点的距离之和最小; ②三角形周长最小或最大的问题，主要运用的就是二次函数具有对称性. (2)不规则三角形面积最大或最小值问题:利用割补法将不规则三角形分割成两个或以上的三角形或四边形，在利用“一母式”将动点坐标表示出来，作线段差，用线段差来表示三角形的底或高，用面积公式求出各部分面积，各部分面积之和就是所求三角形的面积.将三角形的面积用二次函数的结构表示出来，再利用二次函数的性质求出面积的最值及动点坐标. (3)与等腰三角形、直角三角形的综合问题:对于此类问题，我们可以利用两圆一线或两线一圆的基本模型来进行计算. 问题 分情况 找点 画图 解法 等腰三角形 已知点A，B和直线l，在l上求点P，使△PAB为等腰三角形 以AB为腰 分别以点A，B为圆心，以AB长为半径画圆，与已知直线的交点P1，P2，P4，P5即为所求 分别表示出点A，B，P的坐标，再表示出线段AB，BP，AP的长度，由①AB＝AP；②AB＝BP；③BP＝AP列方程解出坐标 以AB为底 作线段AB的垂直平分线，与已知直线的交点P3即为所求 分别表示出点A，B，P的坐标，再表示出线段AB，BP，AP的长度，由①AB＝AP；②AB＝BP；③BP＝AP列方程解出坐标 问题 分情况 找点 画图 解法 直角三角形 已知点A，B和直线l，在l上求点P，使△PAB为直角三角形 以AB为直角边 分别过点A，B作AB的垂线，与已知直线的交点P1，P4即为所求 分别表示出点A，B，P的坐标，再表示出线段AB，BP，AP的长度，由①AB2＝BP2＋AP2；②BP2＝AB2＋AP2；③AP2＝AB2＋BP2列方程解出坐标 以AB为斜边 以AB的中点Q为圆心，QA为半径作圆，与已知直线的交点P2，P3即为所求 注：其他常见解题思路有： ①作垂直，构造“三垂直”模型，利用相似列比例关系得方程求解； ②平移垂线法：若以AB为直角边，且AB的一条垂线的解析式易求(通常为过原点O与AB垂直的直线)，可将这条直线分别平移至过点A或点B得到相应解析式，再联立方程求解． （4)与全等三角形、相似三角形的综合问题:在没有指定对应点的情况下，理论上有六种情况需要讨论，但在实际情况中，通常不会超过四种，要注意边角关系，积