第八讲 一元一次方程的解法讲义2023-2024学年人教版七年级数学上册

第八讲 一元一次方程的解法 1. 定义 一元一次方程必须同时满足下列三个条件： (1)含有一个未知数； (2)未知数的指数是1; (3)未知数的系数不为0. 2. 等式的性质 (1)等式的性质1:如果 a=b, 那么a±c=b±c. (2)等式的性质2:如果a=b, 那么ac=bc. 如果a=b(c≠0), 那么. 3. 解一元一次方程的步骤 (1)去分母； (2)去括号； (3)移项； (4)合并同类项； (5)两边同时除以未知数的系数. 注：这些步骤的先后顺序并不是严格固定的，要根据问题灵活变动. 4. 注意 (1)化分母中的小数为整数时，要根据分数的基本性质，把分子、分母同时乘以一个不为0 的数，不改变分数的局部的值，不涉及其他项. (2)去分母是根据等式的基本性质，因此方程中的每一项都要同时乘以分母的最小公倍 数，不能漏乘，去掉分数线之后，分子要注意添加括号， 典型例题 例1 若方程(m-2)x|m- 1|+3=4是关于x的一元一次方程，则m= . 分 析 本题的关键是弄清一元一次方程的概念，明确一元一次方程必须满足的条件. 解 由题意可得 解得 m=0. 例2 已知x=2是方程2(x-3)+1=x+m的解，则m= . 分 析 明确方程解的概念，把x=2 代入原方程2(x-3)+1=x+m中，得到关于m的方程-2+1=2+m,求出该方程的解即可. 解 把x=2代入原方程2(x-3)+1=x+m中，得到关于m的方程 -2 + 1 = 2 +m, 解得m=-3 例3 依据下列解方程的过程，请在前面的横线上填写变形步骤，在后面的括号内填写变形依据，横线上填写注意事项. 解 原方程可化为.( ) ( ),得3(3x+5)=2(2x- 1).( )注意： 去括号，得9x+15=4x-2.( ) , 得 9x-4x=-2-15.( ) ,得5x=- 17. (代数式运算、合并同类项法则) ,得 ( ) 分 析 当分母中含有小数时，可以用分数的基本性质，把它们化为整数，再按照去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1的步骤依次进行. 解 原方程可化为 ( 分数的基本性质 ) (去分母),得3(3x+5)=2(2x- 1).(等式性质2)注意：不要漏乘 去括号，得9x+15=4x-2. (去括号法则，乘法分配律) 移项 ,得9x-4x=-2- 15.( 等式的性质1 ) 合并同类项法则，得5x=-17. (代数式运算、合并同类项法则) 系数化为1,得 ( 等式性质2 ) 例4 m等于什么数时，式子与的值相等? 分 析 根据题意列出关于m 的分式方程，然后解分式方程即可求得m 的值. 解 令= 去分母，得15m-5(m- 1)=7×15-3(m+3) 去括号，得15m-5m+5=105-3m-9 移项合并，得13m=91 系数化为1,得 m=7 因此，当 m=7 时式子与的值相等. 例5 问当a、b 满足什么条件时，方程2x+5-a=1-bx: (1)有唯一解； (2)有无数解； (3)无解 . 分 析 先解关于x的方程，把x用a,b表示，最后再根据系数情况进行讨论. 解 将原方程移项得2x+bx=1+a-5,合并同类项得：(2+b)x=a-4 当 2 +b≠0,即 b≠-2时，方程有唯一解 当 2 +b=0且 a-4=0 时，即b=-2且 a=4时，方程有无数个解， 当 2 +b=0且 a-4≠0 时，即b=-2 且 a≠4时，方程无解. 双基训练 1.下列等式是一元一次方程的是( ). A.x²+3x=6 B. 2x=4 C. D.x+12=x-4 2.方程-6x=3,两边都除以-6,得( ). A. B.x=-2 C.x=2 D. 3.如果x=y,那么下列等式不一定成立的是( ). A.x+a=y+a B.x-a=y-a C.ax=ay D. 4.下列变形正确的是( ). A.4x-5=3x+2变形得4x-3x=-2+5 B.变形得4x- 1=3x+3 C.3(x-1)=2(x+3)变形