专题03 实数的概念、平方根和开平方（2大考点+8种题型）-【寒假自学课】2024年七年级数学寒假提升学与练（沪教版）

学科网（北京）股份有限公司 专题03 实数的概念、平方根和开平方（2大考点+8种题型） 思维导图 核心考点与题型分类聚焦 考点一：实数的概念 考点二：开平方 题型一：实数的概念 题型二：求一个数的算数平方根 题型三：利用算术平方根的非负性解题 题型四： 算术平方根的实际应用 题型五：平方根概念理解 题型六：求一个数的平方根 题型七： 已知一个数的平方根，求这个数 题型八：利用平方根解方程 考点一：实数的概念 1、无限不循环的小数叫做无理数． 注意： 1)整数和分数统称为有理数； 2)圆周率π是一个无理数． 2、无理数也有正、负之分． 如、、等这样的数叫做正无理数； 、、这样的数叫做负无理数； 只有符号不同的两个无理数，如与，与，称它们互为相反数． 3、有理数和无理数统称为实数． （1）按定义分类 （2）按性质符号分类 考点二：开平方 定义：求一个数的平方根的运算叫做开平方． 1、 如果一个数的平方等于，那么这个数叫做的平方根．这个数叫做被开方数． 如，，的平方根是． 说明： 1) 只有非负数才有平方根，负数没有平方根； 2) 平方和开平方互为逆运算． 3、 算术平方根： 正数的两个平方根可以用“”表示，其中表示的正平方根（又叫算术平方根），读 作“根号”；表示的负平方根，读作“负根号”． ★注意： 1）一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数；零的平方根是0； 2），2是被开方数的根指数，平方根的根指数为2，书写上一般平方根的根指数2略写； 3）一个数的平方根是它本身，则这个数是0． 题型一：实数的概念 【例1】．（2023下·上海·七年级校考期中）在，，，，，，（它的位数无限且相邻两个“”之间“”的个数依次加个）这个数中，无理数的个数是（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 【变式1】．（2023下·七年级单元测试）在数字，3.33，，，0，，，2.121121112…（相邻两个2之间1的个数逐次多1）中，无理数的个数是（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【变式2】．（2023下·七年级单元测试）下列实数中，是无理数的是（ ） A． B． C． D． 【变式3】．（2021下·上海·七年级校考期中）在，0，，，，中，无理数有 （具体填出）． 【变式4】．（2023下·上海奉贤·七年级校考期中）在数学课本36页的阅读材料中，运用反证法说明“是一个无理数”，请模仿这种方法，说明是无理数． 阅读材料： “无理数”的由来 为什么不可能是一个有理数？现在我们用代数方法来解答这个问题． 假设是一个有理数，那么可以得到，其中a、b是整数且a、b互素且，这时，就有：， 于是，则a是2的倍数． 再设，其中m是整数，就有：， 也就是：， 所以b也是2的倍数，可见a、b不是互素数，与前面所假设的a与b互素相矛盾，因此不可能是一个有理数． 解：假设是一个有理数． 则（a、b是整数且a、b互素且）， 则， 两边同时平方得：_____________， 所以：，可得：， 所以：______________， 因为：______________， 所以：是一个无理数． 题型二：求一个数的算数平方根 【例2】．（2023下·上海浦东新·七年级校考期中）的算术平方根是（   ） A．2 B．±2 C．4 D．±4 【变式1】．（2023下·上海·七年级专题练习）的算术平方根是（　　） A． B． C． D． 【变式2】．（2023下·上海宝山·七年级校考期中）下列各式计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式3】．（2023下·上海虹口·七年级校联考期末）已知是正整数，则实数的最大值为（    ） A．2022 B．2023 C．2024 D．2025 【变式4】．（2023下·上海奉贤·七年级校考期中）如图正方形的面积为，正方形面积为，求的面积（结果保留两个有效数字）． 题型三：利用算术平方根的非负性解题 【例3】．（2022上·上海·七年级专题练习）已知，则 ． 【变式1】．（2023下·上海嘉定·七年级校考阶段练习）已知与互为相反数，则的值为 ． 【变式2】．（2023下·上海徐汇·七年级上海市第四中学校考期中），则 ． 【变式3】．（2022下·上海·七年级专题练习）已知，求的值． 【变式4】．（2022下·上海·七年级专题练习）已知，求x的个位数字． 题型四： 算术平方根的实际应用 【例4】．（2022上·上海·七年级专题练习）一个自然数的算术平方根是a，则和这个自然数相邻的下一个自然数是 ． 【变式】．（2022下·上海杨浦·七年级校考期中）已知（n为正整数），则原方程的解为 ． 题型五：平方根概念理解