第10讲 矩形的性质（8大考点+过关检测）-【寒假自学课】2024年八年级数学寒假提升学与练（人教版）

第10讲 矩形的性质 1．矩形的定义： （1）有一个角是直角的平行四边形叫做矩形，也称为长方形． （2）矩形的定义有两个要素：①四边形是平行四边形；②有一个角是直角．二者缺一不可． 【注意】不要错误地把定义理解为有一个角是直角的四边形是矩形，矩形是特殊的平行四边形． 2．矩形的性质： （1）矩形是特殊的平行四边形，具有平行四边形的所有性质，即对边互相平行，对边相等，对角相等，对角线互相平分． （2）矩形的性质可综述为：①矩形的对边平行且相等； ②矩形的对角相等且四个角都是直角； ③矩形的对角线互相平分且相等； ④矩形是轴对称图形，对边中点所确定的直线是它的对称轴，矩形有两条对称轴． （3）矩形的两条对角线将矩形分成两对全等的等腰三角形，因此在解决相关问题时，常常用到等腰三角形的性质，并且分成的四个等腰三角形的面积相等． 3．直角三角形斜边上的中线的性质： 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半． 【注意】定理的条件有两个：一是直角三角形；二是斜边上的中线． 矩形性质1：矩形的四个角都是直角． 已知：如图，四边形ABCD是矩形，且∠A=90°，求证：∠A= ∠ B= ∠ C= ∠ D=90°. 证明：∵四边形ABCD是矩形， ∴ ∠C=∠A=90°，∠D= ∠B，AD∥BC， ∴ ∠A+ ∠B=180°， ∴ ∠D=∠B=180°-∠A=180°- 90° =90°，即矩形的四个角都是直角. 矩形性质2：矩形的对角线相等． 已知：四边形ABCD是矩形，求证：AC = BD. 证明：在矩形ABCD中，∠ABC = ∠DCB = 90°， 又∵AB = DC， BC = CB， ∴△ABC≌△DCB， ∴AC = BD. 直角三角形的性质：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半． 已知：在Rt△ABC中，∠ABC=90°，BO是AC上的中线，求证：BO = AC. 证明:延长BO至D, 使OD=BO,连接AD、DC. ∵AO=OC, BO=OD， ∴四边形ABCD是平行四边形. ∵∠ABC=90°， ∴平行四边形ABCD是矩形， ∴AC=BD， ∴BO = BD= AC. 考点剖析 考点一、矩形性质的理解 【例1】下列性质中，矩形具有但平行四边形不一定具有的是（        ） A．对边相等 B．对角线互相平分 C．对角线相等 D．对边平行 【变式1】下列性质中，矩形不一定具有的是（    ） A． B． C． D． 考点二、利用矩形的性质求角度 【例2】如图，在矩形中，对角线与相交于点，过点作的垂线，垂足为，已知，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【变式2】如图，延长矩形的边至点E，使，连接，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 考点三、利用矩形的性质求线段的长 【例3】如图，在矩形中，，，对角线，相交于点O．点，分别是，的中点，连接，则的周长为（    ） A．12 B．18 C．20 D．16 【变式3】如图，在矩形中，，对角线，相交于点O，垂直平分于点，则的长为 ． 考点四、利用矩形的性质求面积 【例4】如图，矩形的对角线相交于点O，过点O的直线交，于点E，F，若，，则图中阴影部分的面积为 ． 【变式4】如图，若过矩形对角线的交点O，且分别交、于点E、F，则阴影部分的面积是矩形面积的（      ）    A． B． C． D． 考点五、矩形的性质与坐标 【例5】如图，四边形是矩形，其中点和点分别在轴和轴上，连接，点的坐标为，的平分线与轴相交于点，则点的坐标为 ．    【变式5】如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点，，点在轴上，则点的坐标为 ． 考点六、矩形的性质与翻折问题 【例6】如图，在矩形中，，，E、F分别是边上一点，，将沿翻折得，连接，当 时，是以为腰的等腰三角形．    【变式6】如图，在矩形中，，，点E为直线上一动点，连接，将沿翻折得到，当点恰好落在直线上时，的长为 ． 考点七、直角三角形斜边中线的性质 【例7】如图，在四边形中，，为对角线的中点，连接、、，若，则的度数为 ． 【变式7-1】如图所示，为的中位线，点在上，且，若，，则的长为 ． 【变式7-2】如图，中，，点D，E分别是的中点，点F在的延长线上，且．求证：． 考点八、矩形性质的综合问题 【例8】如图1，在矩形中，过矩形对角线的中点O作，分别交、于、点． (1)求证：； (2)如图2，若为的中点，且，求证：． 【变式8】在矩形中，点E在上，，垂足为F． (1)求证：； (2)若，且，求的值． 过关检测 一、单选题 1．如图，在矩形中，对角线，交于点，下列说法错误的是