第03讲 平面向量基本定理及坐标表示（5个知识点+方法练+创新练+成果练）-2024年高一数学寒假预习核心知识点与常见题型通关讲解练（人教A版2019必修第二册）

第03讲 平面向量基本定理及坐标表示（5个知识点+方法练+创新练+成果练） 【目录】 【新知讲解】 知识点1.平面向量基本定理 知识点2.平面向量的正交分解及坐标表示 知识点3.平面向量加、减运算的坐标表示 知识点4.平面向量数乘运算的坐标表示 知识点5.平面向量数量积的坐标表示 【方法练】 【创新练】 【成果练】 【知识导图】 【新知讲解】 知识点1.平面向量基本定理 条件 e1，e2是同一平面内的两个不共线向量 结论 对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2 基底 {e1，e2}叫做表示这一平面内所有向量的一组基底 归纳总结： 1．对基底的理解 (1)基底的特征 基底具备两个主要特征：①基底是两个不共线向量；②基底的选择是不唯一的．平面内两向量不共线是这两个向量可以作为这个平面内所有向量的一组基底的条件． (2)零向量与任意向量共线，故不能作为基底． 2．准确理解平面向量基本定理 (1)平面向量基本定理的实质是向量的分解，即平面内任一向量都可以沿两个不共线的方向分解成两个向量和的形式，且分解是唯一的． (2)平面向量基本定理体现了转化与化归的数学思想，用向量解决几何问题时，我们可以选择适当的基底，将问题中涉及的向量向基底化归，使问题得以解决． 例1.单选题 1．（2021下·高一课时练习）已知，是不共线的非零向量，则以下向量可以作为基底的是（    ） A．， B．， C．， D．， 例2.多选题 2．（2024上·河南新乡·高一原阳一中校考阶段练习）下列结论正确的是（    ） A．一个平面内只有一对不共线的向量可作为表示该平面内所有向量的基底 B．若，是单位向量)，则 C．向量与共线存在不全为零的实数使 D．已知A，B，P三点共线，O为直线外任意一点，若则 例3.填空题 3．（2021下·广东佛山·高一统考竞赛）已知中，分别为边上的点，且，.与的交点为，若，则 . 知识点2.平面向量的正交分解及坐标表示 (1)平面向量的正交分解： 把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量作正交分解． (2)平面向量的坐标表示： 在平面直角坐标系中，设与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i，j，取{i，j}作为基底．对于平面内的任意一个向量a，由平面向量基本定理可知，有且只有一对实数x，y，使得a＝xi＋yj，我们把有序数对(x，y)叫做向量a的坐标，记作a＝(x，y)，其中x叫做a在x轴上的坐标，y叫做a在y轴上的坐标，a＝(x，y)叫做向量的坐标表示． (3)向量坐标与点的坐标之间的联系 在平面直角坐标系中，以原点O为起点作＝a，设＝xi＋yj，则向量的坐标(x，y)就是终点A的坐标；反过来，终点A的坐标(x，y)也就是向量的坐标． 归纳总结： 1．在平面直角坐标系中，平面内的点、以原点为起点的向量、有序实数对三者之间建立一一对应关系．如图所示． 2． 向量的坐标和其终点的坐标不一定相同．当且仅当向量的起点在原点时，向量的坐标才和其终点的坐标相同． 例一、单选题 1．（2022上·内蒙古巴彦淖尔·高三校考期末）已知，，平面向量的坐标是（    ） A． B． C． D． 2．（2023下·新疆乌鲁木齐·高一校考期中）若，点的坐标为，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 例2、 解答题 3．（2023·全国·高一随堂练习）如图，设为一组标准正交基，用这组标准正交基分别表示向量，，，，并求出它们的坐标．    4．（2023·全国·高一随堂练习）已知，两点的坐标，求，的坐标． (1)，； (2)，； (3)，； (4)，． 知识点3.平面向量加、减运算的坐标表示 设向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，λ∈R，则有： 加法 a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2) 减法 a－b＝(x1－x2，y1－y2) 重要结论 已知点A(x1，y1)，B(x2，y2)， 则＝(x2－x1，y2－y1) 在进行向量坐标形式的运算时，要牢记公式，细心计算，防止符号错误． 例一、单选题 1．（2023上·安徽安庆·高二安庆市第二中学校考阶段练习）如图所示，在平面直角坐标系中，以，，为顶点构造平行四边形，下列各点中不能作为平行四边形顶点坐标的是（    ） A． B． C． D． 2．（2024上·辽宁辽阳·高一统考期末）已知向量，，则（   ） A． B． C． D． 例二、解答题 3．（2023·全国·高一随堂练习）在中，AC为一条对角线．若，，则的坐标是多少？ 知识点4.平面向量数乘运算的坐标表示 1．数乘运算的坐标表示 (1)符号表示：已知a＝(x，y)，则λa＝λ(x，y)＝(λx，λy)． (2)文字描述：实数与向量的积的坐标等于用这个