2024年人教版九年级数学中考专题训练：二次函数压轴题（特殊三角形问题）

2024年人教版九年级数学中考专题训练： 二次函数压轴题（特殊三角形问题） 1．如图，已知二次函数的图象与轴交于点，与轴交于、两点，其对称轴与轴交于点. (1)点的坐标为___________，点的坐标为___________； (2)连接，在线段上是否存在点，使得为等腰三角形？若存在，求出所有符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由； 2．如图，已知二次函数的图象交x轴于点，，交y轴于点C． (1)求这个二次函数的表达式； (2)直线分别交直线和抛物线于点M，N，当是等腰三角形时，直接写出m的值． 3．如图，抛物线与x轴交于点A、C，交y轴于点B，. (1)求抛物线的解析式及对称轴方程； (2)如图，连接，点M是对称轴上一点且在第四象限，若是以为底角的等腰三角形，求点M的坐标； 4．在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴交于两点，与轴交于点． (1)求这个二次函数的关系解析式； (2)在平面直角坐标系中，是否存在点，使是以为腰的等腰直角三角形？若存在，直接写出点的坐标；若不存在，说明理由 5．如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于C点，顶点M的纵坐标为． (1)直接写出点A的坐标　　　　，点B的坐标　　　　； (2)求出二次函数的解析式； (3)如图1，在平面直角坐标系中找一点D，使得是以为斜边的等腰直角三角形，试求出点D的坐标． 6．如图，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点． (1)求A点和点B的坐标； (2)判断的形状，证明你的结论； 7．如图，已知抛物线与x轴交于，两点． (1)求b，c的值； (2)点E为抛物线上一点，且点E在x轴上方，连接，以点E为直角顶点，为直角边，作等直角，使得点D恰好落在直线上，求出满足条件的所有点E的坐标． 8．如图，抛物线（a≠0）与x轴交于A，B两点（点B在点A的右侧），与y轴交于点C，OB=OC，抛物线的对称轴为直线x=1． (1)求抛物线的解析式； (2)点P为抛物线的对称轴上一点，连接 AC，CP，AP，当△ACP的周长最小时，求点P的坐标； (3)在（2）的情况下，在y轴上是否存在点Q，使以A，P，Q为顶点的三角形为直角三角形，若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 9．如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图像与坐标轴相交于A、B、C三点，其中A点坐标为，B点坐标为，连接、．动点P从点A出发，在线段上以每秒个单位长度向点C做匀速运动；同时，动点Q从点B出发，在线段上以每秒1个单位长度向点A做匀速运动，当其中一点到达终点时，另一点随之停止运动，连接，设运动时间为t秒． (1)求二次函数的解析式． (2)在P、Q运动的过程中，当t为何值时，四边形的面积最小，最小值为多少？ (3)在线段上方的抛物线上是否存在点M，使是以点P为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 10．如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与x轴交于A、B两点，A点在原点的左侧，B点的坐标为（3，0），与y轴交于C（0，﹣3）点，点P是直线BC下方的抛物线上一动点． (1)求这个二次函数的表达式； (2)在抛物对称轴上找一点D，使∠DCB＝∠CBD，求点D的坐标； (3)在直线BC找一点Q，使得△QOC为等腰三角形，写出Q点坐标． 11．抛物线与轴相交于点，且抛物线的对称轴为，为对称轴与轴的交点． (1)求抛物线的解析式； (2)直线与抛物线从左到右依次交于、两点，若是等腰直角三角形，求的值． 12．抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点C，直线y＝kx－6经过点B．点P在抛物线上，设点P的横坐标为m． (1)求抛物线的表达式和t，k的值； (2)如图1，连接AC，AP，PC，若△APC是以CP为斜边的直角三角形，求点P的坐标； (3)如图2，若点P在直线BC上方的抛物线上，过点P作PQ⊥BC，垂足为Q，求的最大值． 13．如图，二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象交x轴于A、B两点，交y轴于点D，点B的坐标为(3，0)，顶点C的坐标为(1，4)． (1)求二次函数的解析式； (2)点P是直线BD上的一个动点，过点P作x轴的垂线，交抛物线于点M，当点P在第一象限时，求线段PM长度的最大值； (3)在抛物线上是否存在点Q，且点Q在第一象限，使△BDQ中BD边上的高为？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 14．如图，抛物线与轴交于A、两点，与轴的负半轴交于点，直线经过点A，连接、，若，的面积为．      (1)求抛物线的解析式； (2)点为轴右侧抛物线上一点，连接交轴于点，设点的横坐标为，的面积为，求S与的函数解析式； (3)在（2）的条件下，过点作的平行线交直线于点，过点作的平行线交轴