专题07 一元二次方程的根与系数的关系（1个知识点+方法练+创新练+成果练）-2024年八年级数学寒假预习核心知识点与常见题型通关讲解练（沪科版）

专题07 一元二次方程的根与系数的关系（1个知识点+方法练+创新练+成果练） 【目录】 【新知讲解】 知识点1.一元二次方程根与系数的关系 【方法练】 【创新练】 【成果练】 【知识导图】 【新知讲解】 知识点1.一元二次方程根与系数的关系 如果的两个根分别为，那么.这个关系通常称为韦达定理. 当一元二次方程的二次项系数为1时，它的标准形式为.设它的两根为这时韦达定理应是. 【例1】（2024下·全国·八年级假期作业）已知，是方程的两个根，则代数式的值是 ． 【变式1】（2024下·全国·八年级假期作业）若方程的两个根分别为，，且，则 ． 【变式2】（2024下·全国·八年级假期作业）若关于x的一元二次方程有两个根，且只有一个根为零，则b，c满足的条件是 ． 【变式3】（2022下·浙江·八年级开学考试）已知方程①，和方程② (1)若方程①的根为，，求方程②的根； (2)当方程①有一根为时，求证是方程②的根； (3)若，方程①的根是与，方程②的根是和，求的值． 【方法练】 1．（2023下·浙江湖州·八年级校考期中）已知是关于的一元二次方程的两实数根． (1)求的取值范围； (2)已知等腰的底边长为4，若恰好是的两腰长，求m的值和的周长． 2．（2023·湖南长沙·八年级长沙市长郡梅溪湖中学校考阶段练习）阅读理解： 材料1：若代数式在实数范围内可因式分解为. 令我们可以得到该方程的两个解为，，则我们也可以得到关于的方程的两个解也为，，那么我们称这两个解为“共生根”，由得到两个“共生根”与各项系数之间的关系为：，． 材料2：已知实数，满足，，且，根据材料1求的值． 解：由题知，是方程足的两个不相等的“共生根”， 根据材料1得：，， ． 解决以下问题： (1)方程的两个“共生根”为，，则_______，_______； (2)已知实数，满足，，且，求的值； (3)已知实数，满足，，且，求． 3．（2023·北京海淀·八年级首都师范大学附属中学校考期中）小聪学习多项式研究了多项式值为0的问题，发现当或时，多项式的值为0，把此时x的值称为多项式A的零点． (1)已知多项式，则此多项式的零点为__________； (2)已知多项式有一个零点为1，求多项式B的另一个零点； (3)小聪继续研究，及等，发现在x轴上表示这些多项式零点的两个点关于直线对称，他把这些多项式称为“2系多项式”．若多项式是“2系多项式”，求a与c的值． 4．（2023下·江苏南通·八年级校考阶段练习）关于x的一元二次方程：有两个不相等的实数根， (1)求k的最大整数值． (2)当时，求k的值． 5．（2023下·江苏南通·八年级校考阶段练习）已知：、是一元二次方程的两个实数根．求：的值． 【创新练】 1．（2023·内蒙古通辽·统考中考真题）阅读材料： 材料1：关于x的一元二次方程的两个实数根和系数a，b，c有如下关系：，． 材料2：已知一元二次方程的两个实数根分别为m，n，求的值． 解：∵m，n是一元二次方程的两个实数根， ∴． 则． 根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题： (1)应用：一元二次方程的两个实数根为，则___________，___________； (2)类比：已知一元二次方程的两个实数根为m，n，求的值； (3)提升：已知实数s，t满足且，求的值． 2．（2023·湖北·统考中考真题）已知关于x的一元二次方程． (1)求证：无论m取何值时，方程都有两个不相等的实数根； (2)设该方程的两个实数根为a，b，若，求m的值． 3．（2023·四川南充·统考中考真题）已知关于x的一元二次方程 (1)求证：无论m为何值，方程总有实数根； (2)若，是方程的两个实数根，且，求m的值． 4．已知是方程一个根，求另一个根及m值． 5．（2022·湖北黄石·统考中考真题）阅读材料，解答问题： 材料1 为了解方程，如果我们把看作一个整体，然后设，则原方程可化为，经过运算，原方程的解为，．我们把以上这种解决问题的方法通常叫做换元法． 材料2 已知实数m，n满足，，且，显然m，n是方程的两个不相等的实数根，由韦达定理可知，． 根据上述材料，解决以下问题： (1)直接应用： 方程的解为_______________________； (2)间接应用： 已知实数a，b满足：，且，求的值； (3)拓展应用： 已知实数x，y满足：，且，求的值． 【成果练】 一、单选题 1．（2022下·福建福州·八年级校考期末）方程与方程的所有实数根的和是（    ） A． B．1 C．2 D． 2．（2023下·山东泰安·八年级校考期中）关于的一元二次方程的两根分别为，，则b与c的值分别（    ） A．， B．， C．， D