第九章 平面向量（知识归纳+题型突破）-2023-2024学年高一数学单元速记·巧练（苏教版2019必修第二册）

第九章 平面向量（知识归纳+题型突破） 1.理解向量的相关概念．掌握向量的表示方法，理解向量的模的概念． 2.理解两个向量相等的含义以及共线向量的概念．理解向量夹角的概念和范围． 3.理解向量加法的概念以及向量加法的几何意义． 4.掌握向量加法的交换律和结合律，会利用它们进行计算． 5.掌握向量加法的平行四边形法则和三角形法则，会利用它们解决实际问题． 6.掌握向量减法的运算法则及其几何意义，会求两个向量的差． 7.理解向量数乘的定义及几何意义，掌握向量数乘的运算律． 8.掌握向量共线定理，会判断或证明两个向量共线． 9.理解平面向量数量积的含义并会计算．理解向量a在向量b上的投影向量的概念． 10.掌握平面向量数量积的性质及其运算律，并会应用． 11.理解平面向量基本定理及其意义，了解向量基底的含义． 12.掌握平面向量基本定理，会用基底表示平面向量． 13.理解向量坐标表示的意义．掌握两个向量的和、差及向量数乘的坐标运算法则． 14.理解坐标表示的平面向量共线的条件，并会解决向量共线问题． 15.掌握向量数量积的坐标表示，会用向量的坐标形式求数量积． 16.能根据向量的坐标计算向量的模、夹角及判定两个向量垂直． 17.理解两平行向量的坐标之间的关系，会用向量的坐标运算解决向量平行问题． 18.能根据向量的坐标运算解决与三点共线有关的问题． 1．向量的概念及表示 (1)概念：我们把既有大小又有方向的量叫作向量． (2)向量常用一条有向线段来表示，有向线段的长度表示向量的大小，箭头所指的方向表示向量的方向．以A为起点、B为终点的向量记为．向量也可用小写字母a，b，c来表示． 2．向量的有关概念 (1)向量的长度(模)：向量的大小称为向量的长度(或称为模)，记作||． (2)零向量：我们规定，长度为0的向量称为零向量，记作0，零向量的方向是任意的． (3)单位向量：长度等于1个单位长度的向量． 3．两个向量间的关系 (1)平行向量：方向相同或相反的非零向量叫作平行向量，又称为共线向量．若向量a与向量b平行，记作a∥b. 规定零向量与任一向量平行． (2)相等向量：所有长度相等且方向相同的向量都看作相同的向量，而不管它们的起点位置如何．向量a与b是相同的向量，也称a与b相等，记作a＝b. (3)相反向量：我们把与向量a长度相等，方向相反的向量叫作a的相反向量，记作－a， 规定零向量的相反向量仍是零向量．任意一个向量a，总有－(－a)＝a． 4．向量的夹角 对于两个非零向量a和b，在平面内任取一点O，作＝a，＝b，∠AOB＝θ(0°≤θ≤180°)叫作向量a与b的夹角． 当θ＝0°时，a与b同向； 当θ＝180°时，a与b反向； 当θ＝90°时，则称向量a与b垂直，记作a⊥b． 5．向量加法的定义及运算法则 定义 求两个向量和的运算叫作向量的加法 法则 三角形法则 前提 已知向量a，b 作法 在平面内任取一点O，作＝a，＝b 结论 向量叫作a与b的和，记作a＋b，即a＋b＝＋＝ 图形 平行四边形法则 前提 任意两个不共线的非零向量a，b 作法 作＝a，＝b，以OA，OC为邻边作▱OABC 结论 以O为起点的对角线表示的向量就是向量a与b的和 图形 规定 零向量与任一向量a的和都有a＋00a＝a 6．向量加法的运算律 交换律 a＋b＝b＋a 结合律 (a＋b)＋c＝a＋(b＋c) 7．向量的减法 (1)定义：若b＋x＝a，则向量x叫作a与b的差，记为a－b.求两个向量差的运算，叫作向量的减法．a－b＝a＋(－b)，即减去一个向量相当于加上这个向量的相反向量． (2)作法：在平面内任取一点O，作＝a，＝b，则向量＝a－b，如图所示． (3)几何意义：a－b可以表示为从向量b的终点指向向量a的终点的向量． 8．向量的数乘的定义 一般地，实数λ与向量a的积是一个向量，记作λa，它的长度和方向规定如下： (1)|λa|＝|λ||a|． (2)若a≠0，则当λ＞0时，λa与a方向相同；当λ＜0时，λa与a方向相反；实数λ与向量a相乘的运算，叫作向量的数乘．特别地，当λ＝0时，0a＝；当a＝0时，λ0＝． 9．向量数乘的运算律 设 a, b为向量，λ，μ为实数，那么： (1)λ(μ a)＝(λμ)a． (2)(λ＋μ)a＝λa＋μa． (3)λ(a＋b)＝λa＋λb． 10．向量的线性运算及向量共线定理 (1)向量的加法、减法和数乘统称为向量的线性运算． (2)向量共线定理 设a为非零向量，如果有一个实数λ，使b＝λa．那么b与a是共线向量；反之，如果b与a是共线向量，那么有且只有一个实数λ，使b＝λa. 11．向量的数量积 已知两个