第九章 平面向量（压轴题专练）-2023-2024学年高一数学单元速记·巧练（苏教版2019必修第二册）

第九章 平面向量（压轴题专练） 题型一　向量共线定理及其应用 【例1】已知非零向量e1，e2不共线． (1)如果＝e1＋e2，＝2e1＋8e2，＝3(e1－e2)，求证：A，B，D三点共线； (2)欲使ke1＋e2和e1＋ke2共线，试确定实数k的值． 【解析】(1)证明：因为＝e1＋e2，＝＋＝2e1＋8e2＋3e1－3e2＝5(e1＋e2)＝5. 所以，共线，且有公共点B，所以A，B，D三点共线． (2)因为ke1＋e2与e1＋ke2共线， 所以存在实数λ，使ke1＋e2＝λ(e1＋ke2)，则(k－λ)e1＝(λk－1)e2， 由于e1与e2不共线，只能有 所以k＝±1. 思维升华 向量共线定理的应用 (1)若b＝λa(a≠0)，且b与a所在的直线无公共点，则这两条直线平行． (2)若b＝λa(a≠0)，且b与a所在的直线有公共点，则这两条直线重合．例如，若＝λ，则与共线，又与有公共点A，从而A，B，C三点共线，这是证明三点共线的重要方法．　 巩固训练 1.已知O，A，M，B为平面上四点，且＝λ＋(1－λ)·(λ∈R，λ≠0，且λ≠1). (1)求证：A，B，M三点共线； (2)若点B在线段AM上，求实数λ的取值范围． 【解析】(1)证明：因为＝λ＋(1－λ)， 所以＝λ＋－λ，－＝λ－λ， 所以＝λ(λ∈R，λ≠0，且λ≠1). 又AM与AB有公共点A，所以A，B，M三点共线． (2)由(1)知＝λ，若点B在线段AM上， 则与同向，且||>||>0，所以λ>1. 题型二　平面向量基本定理的应用 【例2】如图，在△ABC中，点M是BC的中点，点N在AC上，且AN＝2NC，AM与BN相交于点P，求AP∶PM与BP∶PN. 【解析】设＝e1，＝e2， 则＝＋＝－3e2－e1，＝＋＝2e1＋e2. 因为A，P，M和B，P，N分别共线，所以存在实数λ，μ使得＝λ＝－λe1－3λe2， ＝μ＝2μe1＋μe2. 故＝＋＝－＝(λ＋2μ)e1＋(3λ＋μ)e2. 而＝＋＝2e1＋3e2，由平面向量基本定理， 得 解得 所以＝，＝. 所以AP∶PM＝4∶1，BP∶PN＝3∶2. 思维升华 若直接利用基底表示向量比较困难，可设出目标向量并建立其与基底之间满足的二元关系式，然后利用已知条件及相关结论，从不同方向和角度表示出目标向量(一般需建立两个不同的向量表达式)，再根据待定系数法确定系数，建立方程或方程组，解方程或方程组即得．　 巩固训练 1.如图，在直角梯形ABCD 中，已知AB∥CD，∠BAD＝90°，AD＝AB＝2，CD＝1，动点P在线段BC上运动，且＝m＋n，则＋的最小值是(　　) A．3 B．3＋2 C．4 D．4＋2 【解析】选C．设＝λ. 因为＝＋＋＝－＋＋＝－＋. 所以＝＋＝＋λ＝＋λ＝＋λ. 所以m＝1－λ，n＝λ，所以2m＋n＝2. ＋＝＋＝1＋＋＋1≥2＋2＝4. 当且仅当＝，即n＝2m时取等号，此时λ＝1，P与C重合，符合题意. 故选C． 2. 如图，在△ABC中，＝，点E在线段AD上移动(不含端点)，若＝λ＋μ，则＝________，λ2－μ的最小值是________． 【解析】设＝m， 则＝m＝m， 所以＝m＋m，而＝λ＋μ， 可得λ＝m，μ＝m，所以＝＝2，λ2－μ＝m2－m＝2－， 所以当m＝时，λ2－μ取得最小值－. 【答案】2　－ 题型三　向量坐标运算的综合应用 【例3】已知点O(0，0)，A(1，2)，B(4，5)，及＝＋t. (1)t为何值时，点P在x轴上？点P在y轴上？点P在第二象限？ (2)四边形OABP能为平行四边形吗？若能，求出t的值；若不能，请说明理由． 【解析】(1)＝＋t＝(1，2)＋t(3，3)＝(1＋3t，2＋3t). 若点P在x轴上，则2＋3t＝0，所以t＝－.若点P在y轴上，则1＋3t＝0， 所以t＝－.若点P在第二象限，则所以－＜t＜－. (2)＝(1，2)，＝(3－3t，3－3t).若四边形OABP为平行四边形，则＝， 所以该方程组无解．故四边形OABP不能为平行四边形． 思维升华 向量中含参数问题的求解策略 (1)向量的坐标含有两个量：横坐标和纵坐标，如果纵坐标或横坐标是一个变量，则表示向量的点的坐标的位置会随之改变． (2)解答这类由参数决定点的位置的题目，关键是列出满足条件的含参数的方程(组)，解这个方程(组)，就能达到解题的目的．　 巩固训练 1．已知点O(0，0)，A(1，2)，B(4，5)，及＝＋t. 则t为何值时，B为线段AP的中点？ 【解析】由＝＋t，得＝t.所以当t＝2时，＝2，B为线段AP的中点． 2.已知在平行四边形ABCD中，A(0，0)，B(5，0)，D(2，4)，对角线AC，BD相交于点M，则的坐标是(　　) A． B． C． D．