第07讲 二项式定理-【寒假预科讲义】2024年高二数学寒假精品课（人教A版2019）

第07讲 二项式定理 【人教A版2019】 ·模块一 二项式定理 ·模块二 二项式系数的性质 ·模块三 课后作业 模块一 二项式定理 1．二项式定理 一般地，对于任意正整数n，都有 =++++++.(*) 公式(*)叫做二项式定理，等号右边的多项式叫做的二项展开式，其中各项的系数(k∈{0,1,2, ,n})叫做二项式系数，叫做二项展开式的通项，用表示，即通项为展开式的第k+1项：=. (2)二项展开式的规律 ①二项展开式一共有(n+1)项. ②(n+1)项按a的降幂b的升幂排列. ③每一项中a和b的幂指数之和为n. 【考点1 求二项展开式】 【例1.1】（2023下·北京通州·高二统考期中）二项式的展开式为（    ） A． B． C． D． 【例1.2】（2023·全国·高三专题练习）下列不属于的展开式的项的是（    ） A． B． C． D． 【变式1.1】（2023下·江苏连云港·高二统考期中）展开式中的项数为（    ） A．11 B．12 C．22 D． 【变式1.2】（2023下·高二课时练习）(x＋2)n的展开式共有11项，则n等于（    ） A．9 B．10 C．11 D．8 【考点2  求展开式的特定项或特定项的系数】 【例2.1】（2023·西藏拉萨·统考一模）二项式的展开式中的第3项为（    ） A．160 B． C． D． 【例2.2】（2023下·福建三明·高二校考阶段练习）在的展开式中，的系数为（    ） A． B．4 C． D．6 【变式2.1】（2023·北京西城·北京师大附中校考模拟预测）在的展开式中，常数项为（    ） A．1 B．3 C．6 D．12 【变式2.2】（2023下·广东珠海·高二校考期中）若的展开式中的系数是80，则实数a的值是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 模块二 二项式系数的性质 1．二项式系数的性质 (1)杨辉三角——二项式系数表 当n依次取1,2,3,时，观察的展开式的二项式系数： 从中我们可以看出，左侧三角是根据二项式定理得到的，右侧三角是算出对应的组合数的值后所得结 果，由此我们可以发现以下性质： ①每一行中的二项式系数是对称的，如第一项与最后一项的二项式系数相等，第二项与倒数第二项的 二项式系数相等. ②每一行两端都是1，而且从第二行起，除1以外的每一个数都等于它“肩上”两个数的和. ③从第二行起，每一行的二项式系数从两端向中间逐渐增大. ④第一行的两个数之和为2=，第二行的三个数之和为4=，，第六行的各数之和为，， 第n行的(n+1)个数之和为. (2)二项式系数的性质 对称性 与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等(即) 增减性 当时，二项式系数逐渐增大；当时，二项式系数逐渐减小，因此二项式系数在中间取得最大值 最大值 当n是偶数时，展开式的中间一项的二项式系数最大；当n是奇数时，展开式的中间两项与的二项式系数，相等且最大 各二项式 系数的和 【考点1  用赋值法求系数和问题】 【例1.1】（2023上·福建莆田·高二校考期末）若，则（    ） A．1 B．513 C．512 D．511 【例1.2】（2023下·重庆·高二统考期末）已知，则（    ） A． B． C． D． 【变式1.1】（2023下·高二单元测试）若，则的值为（  ） A．－2 B．－1 C．1 D．2 【变式1.2】（2023下·广东湛江·高二校考期中）若，，则（    ） A． B． C． D． 【考点2 多项式积的展开式中的特定项问题】 【例2.1】（2023上·辽宁丹东·高三统考期中）的展开式中的系数为（    ） A．55 B． C．65 D． 【例2.2】（2023上·湖北·高三校联考阶段练习）若的展开式中的的系数为，则实数（    ） A．8 B．7 C．9 D．10 【变式2.1】（2023·全国·模拟预测）的展开式中的常数项为（    ） A．120 B．80 C．60 D．40 【变式2.2】（2023下·山东菏泽·高二校考阶段练习）在的展开式中，的系数为，则该二项展开式中的常数项为（    ） A．3204 B． C．160 D． 【考点3 求展开式中系数最大（小）的项】 【例3.1】（2023下·上海长宁·高二校考期末）二项式的展开式中，系数最大项的是（    ） A．第项 B．第项和第项 C．第项 D．第项 【例3.2】（2023·江西南昌·江西师大附中校考三模）若的展开式中有且仅有第五项的二项式系数最大，则展开式中系数最大的是（    ） A．第二项 B．第三项 C．第四项 D．第五项 【变式3.1】（2023下·江苏淮安·高二校联考期中）已知在的展