3.4圆周角和圆心角的关系第2课时（同步课件）-2023-2024学年九年级数学下册同步精品课堂（北师大版）

北师大版 数学 九年级下册 第2课时 第三章 圆 4 圆周角和圆心角的关系 学习目标 1．理解圆内接四边形的定义.（重点） 2．掌握圆周角定理的2个推论的内容. （重点） 3．会熟练运用推论解决问题.（难点） 2.圆周角定理:一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的 . 如下图， ∠ABC = . ●O A B C ●O A B C ●O A B C 1.圆周角定义: 顶点在 ,并且两边都和圆 的角叫圆周角. ●O B A C D E 复习回顾 圆上 相交 一半 ∠AOC 一、创设情境，引入新知 如图是一个圆形笑脸，给你一个三角板，你有办法确定这个圆形笑脸的圆心吗？ 问题1：观察下图，BC是⊙O的直径，它所对的圆周角有什么特点？你能证明吗？ A B C O 二、自主合作，探究新知 探究一： 圆周角定理的推论 解：直径BC所对的圆周角∠BAC=90°. （圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角的度数的一半） 证明：∵BC为直径 ∴∠BOC=180° ∴∠BAC=∠BOC 二、自主合作，探究新知 问题2：观察下图，圆周角∠BAC=90°，弦BC是直径吗？为什么？ B C A O 解：弦BC是直径. 证明：连接OB、OC ∵∠BAC=90° ∴∠BOC=2∠BAC=180° （圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角的度数的一半） ∴B、O、C三点在同一直线上 ∴BC是⊙O的一条直径 注意：此处不能直接连接BC，思路是先保证过点O，再证三点共线. 知识要点 二、自主合作，探究新知 直径所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径. A B C O B C A O 几何语言： ∵BC为直径 ∴∠BAC=90° 几何语言： ∵∠BAC=90° ∴BC为直径 圆周角定理的推论2： 二、自主合作，探究新知 问题解决：回归到最初的问题，你能确定圆形笑脸的圆心吗？ 利用三角板在圆中画出两个90°的圆周角，这样就得到两条直径，那么这两条直径的交点就是圆心. 例1：如图，⊙O的直径AB=10cm，C为⊙O上的一点，∠B=30°，求AC的长. A B C O 二、自主合作，探究新知 典型例题 解∵AB为直径 ∴∠BCA=90° 在Rt△ABC中， ∠ABC=30°，AB=10 ∴AC=AB=5 例2：如图所示，已知△ABC的顶点在⊙O上，AD是△ABC的高，AE是⊙O的直径，求证：∠BAE＝∠CAD. 二、自主合作，探究新知 证明:如图，连接BE. ∵ AE是⊙O的直径， ∴ ∠ABE＝90°， ∴ ∠BAE＋∠E＝90°. ∵ AD是△ABC的高， ∴ ∠ADC＝90°， ∴ ∠CAD＋∠C＝90°. ∵ AB＝AB， ∴ ∠E＝∠C. ∵ ∠BAE＋∠E＝90°，∠CAD＋∠C＝90°， ∴ ∠BAE＝∠CAD. ⌒ ⌒ 典型例题 议一议：（1）如图，A，B，C，D是⊙O上的四点，AC为⊙O的直径，请问∠BAD与∠BCD之间有什么关系？为什么？ A B C O D 二、自主合作，探究新知 探究二： 圆内接四边形及其性质 解：∠BAD与∠BCD互补 ∵AC为直径 ∴∠ABC=90°,∠ABC=90° ∵∠ABC+∠BCD+∠ABC+∠BAD=360° ∴∠BAD+∠BCD=180° ∴∠BAD与∠BCD互补 二、自主合作，探究新知 (2)如图，C点的位置发生了变化，∠BAD与∠BCD之间有的关系还成立吗？为什么？ A B C O D 解：∠BAD与∠BCD的关系仍然成立 连接OB，OD 1 2 ∵∠1+∠2=360° ∴∠BAD+∠BCD=180° ∴∠BAD与∠BCD互补 ∵∠BAD=∠2,∠BCD=∠1, （圆周角的度数等于它所对弧上圆心角的一半） 二、自主合作，探究新知 四边形ABCD的的四个顶点都在⊙O上，这样的四边形叫做圆内接四边形；这个圆叫做四边形的外接圆。 知识要点 A B C O D 思考：圆内接四边形有什么特殊的性质吗？ 圆周角定理的推论3(圆内接四边形性质): 圆内接四边形的对角互补. 几何语言： ∵四边形ABCD为圆内接四边形 ∴∠BAD+∠BCD=180°（圆内接四边形的对角互补） 想一想：如图，∠DCE是圆内接四边形ABCD的一个外角，∠A与∠DCE的大小有什么关系？ A B C O D E 二、自主合作，探究新知 ∠A与∠DCE互补 由圆内接四边形的性质可得∠D＋∠CBA＝180°.又∠CBA ＋∠CBE ＝180°，所以∠D＝∠CBE． 圆内接四边形性质的推论：圆内接四边形的任何一个外角等于它的内对角(就是和它相邻的内角的对角)． 例3： 如图，在⊙O的内接四边形ABCD中，∠BOD＝120°，那么∠BCD