18.1 第1课时 勾股定理-（教案）【木牍教育·课时A计划】2023-2024学年八年级下册数学沪科版（安徽）

第18章　勾股定理 18.1　勾股定理 第1课时　勾股定理 ◇教学目标◇ 　　1.探索直角三角形三边关系,了解勾股定理的发现过程,掌握勾股定理的内容,会用勾股定理求直角三角形的边长. 2.经历观察、发现直角三角形三边关系的过程,提升“观察—猜想—归纳”的能力,并体会数形结合和从特殊到一般的思想方法. 3.介绍我国古代勾股定理研究方面所取得的成就,感受数学文化,激发学生的爱国热情,促使其勤奋学习;在探究活动中,培养学生的合作交流意识和探索精神. ◇教学重难点◇ 教学重点 了解勾股定理的演绎过程,掌握勾股定理. 教学难点 勾股定理的演绎和推导过程. ◇教学过程◇ 一、情境导入 1.在我国古代,通常把较短的直角边称为“勾”,较长的直角边称为“股”,斜边称为“弦”或“径”,而直角三角形也叫做“勾股形”. 早在三千多年前,周朝数学家商高就提出,将一根直尺折成一个直角三角形,如果勾等于三,股等于四,那么弦就等于五,即“勾三、股四、弦五”.它被记载于我国古代著名的数学著作《周髀算经》中,预示了我国是最早了解勾股定理的国家之一. 2.受台风影响,一棵树在离地面3米处断裂,树的顶部落在离树根底部4米处,这棵树折断前有多高? 二、合作探究 探究点1　勾股定理的证明 典例1　如图,点C在线段BD上,AC⊥BD,CA=CD,点E在线段CA上,且满足DE=AB,连接DE并延长交AB于点F. (1)求证:DE⊥AB; (2)若BC=a,AC=b,AB=c,设EF=x,则△ABD的面积可表示为S△ABD=c(c+x).你能借助本题提供的图形,证明勾股定理吗?试一试吧. [解析]　(1)在Rt△ABC和Rt△DEC中, ∴Rt△ABC≌Rt△DEC(HL), ∴∠BAC=∠EDC. ∵∠AEF=∠DEC,∠EDC+∠DEC=90°, ∴∠BAC+∠AEF=∠EDC+∠DEC=90°, ∴∠AFE=180°-(∠BAC+∠AEF)=90°, ∴DE⊥AB. (2)由题意知S△ABD=S△BCE+S△ACD+S△ABE=a2+b2+cx. ∵S△ABD=c(c+x), ∴a2+b2+cx=c(c+x), ∴a2+b2=c2. 变式训练　如图是“赵爽弦图”,其中△ABH,△BCG,△CDF和△DAE是四个全等的直角三角形,四边形ABCD和EFGH都是正方形,根据这个图形的面积关系,可以证明勾股定理.设AD=c,AE=a,DE=b,取c=10,a-b=2. (1)正方形EFGH的面积为　　　　,四个直角三角形的面积和为　　　　;  (2)求(a+b)2的值. [解析]　(1)4;96. (2)由(1)可知四个直角三角形的面积和为96, ∴4×ab=96,解得2ab=96. ∵(a-b)2+4×ab=a2+b2=c2=100, ∴(a+b)2=a2+b2+2ab=100+96=196. 技巧点拨证明勾股定理的关键是用不同的代数式表示同一个图形的面积. 探究点2　勾股定理 典例2　在△ABC中,∠C=90°,∠A,∠B,∠C的对边分别是a,b,c. (1)已知a=b=6,求c; (2)已知a=6,c=10,求b; (3)已知c=34,a∶b=8∶15,求a,b. [解析]　(1)∵c2=a2+b2=62+62=72, ∴c==6. (2)∵b2=c2-a2=102-62=64, ∴b==8. (3)∵a∶b=8∶15, ∴设a=8x(x>0),则b=15x. 又∵∠C=90°,∴c2=a2+b2=(8x)2+(15x)2=289x2, ∴c==17x=34,解得x=2, ∴a=8x=16,b=15x=30. 变式训练　如图,在等腰△ABC中,AB=AC,BC=16,AD⊥BC于点D,AD=6,则AC=　　　　.  [答案]　10 易错警示运用勾股定理求直角三角形的边长,不能机械地套用公式,而应先辨别清楚所求的边是直角边还是斜边. 三、板书设计 勾股定理 1.勾股弦图 2.勾股定理 直角三角形两条直角边的平方和,等于斜边的平方,即a2+b2=c2. ◇教学反思◇ 　　本节课根据学生的认知结构采用“观察—猜想—归纳—验证—应用”的教学方法,这一流程体现了知识发生、形成和发展的过程,让学生体会到观察、猜想、归纳、验证的学习过程和数形结合的思想. 本节课介绍了勾股定理的历史,特别是通过介绍我国古代在勾股定理研究和运用方面的成就,激发学生的爱国热情,培养学生探索创新的精神. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$