2023-2024学年人教版九年级数学上册寒假 03讲 二次函数与几何综合

第03讲 二次函数与几何综合 学习目标：（1）建立本章知识体系 （2） 明确中考考点 （3） 掌握经典题型 中考考点总结： （1） 二次函数图形的变换 （2） 线段、面积最值问题 （3） 几何图形存在性问题 考点一：二次函数图形的变换 知识储备： 原解析式 变换后解析式 平移 左3上2 平移 右2下3 关于x轴对称 关于直线x=1对称 关于y轴对称 关于直线y=1对称 关于原点对称 考点二：线段、面积最值问题 知识储备： 两点间距离公式、中点坐标公式 A点坐标 B点坐标 线段AB长 AB中点坐标 （0，-5） （0，-8） （3，8） （-5，8） （1，4） （4，8） 铅锤法求三角形面积 + CDCD CD = 【方法梳理】 （1） 求 A、B 两点水平距离，即水平宽； （2） 过点 C 作 x 轴垂线与 AB 交于点 D，可得点 D 横坐标同点 C； （3） 求直线 AB 解析式并代入点 D 横坐标，得点 D 纵坐标； （4） 根据 C、D 坐标求得铅垂高； S 水平宽铅垂高． 例1. 如图，抛物线 y x2 2x 3 与 x 轴交于 A、B 两点（点 A 在点 B 左侧），与 y 轴交于点 C，连接 BC，抛物线在线段 BC 上方部分取一点 P，连接 PB、PC． （1） 过点 P 作 PH⊥x 轴交 BC 边于点 H，求 PH 的最大值； （2） 求△PBC 面积的最大值； （3）求点 P 到 BC 距离的最大值． 考点三：几何图形存在性问题 训练点一：等腰三角形存在性问题 知识储备： 【引例】如图，点 A 坐标为（1,1），点 B 坐标为（4,3），求 x 轴上一点 C 使得△ABC 是等腰三角形． 【几何法】“两圆一线” （1）以点 A 为圆心，AB 为半径作圆，与 x 轴的交点即为满足条件的点 C，有 AB=AC； （2）以点 B 为圆心，AB 为半径作圆，与 x 轴的交点即为满足条件的点 C，有 BA=BC； （3）作 AB 的垂直平分线，与 x 轴的交点即为满足条件的点 C，有 CA=CB． 注意：若有重合的情况，则需排除． 例2..如图，在平面直角坐标系中，二次函数 y ax2 bx c 交 x 轴于点A(4, 0) 、 B(2, 0) ，交 y 轴于点C(0, 6) ，在 y 轴上有一点 E(0, 2) ，连接 AE ． （1）求二次函数的表达式； （2）若点 D 为抛物线在 x 轴负半轴上方的一个动点，求ADE 面积的最大值；（3）抛物线对称轴上是否存在点 P ，使 AEP 为等腰三角形？若存在，请直接写出所有 P 点的坐标，若不存在请说明理由． 训练点二：直角三角形存在性问题 【引例】如图，在平面直角坐标系中，点 A 坐标为（1,1），点 B 坐标为（5,3），在 x 轴上找一点 C 使得△ABC 是直角三角形，求点 C 坐标． 【几何法】“两线一圆” （1） 若∠A 为直角，过点 A 作 AB 的垂线，与 x 轴的交点即为所求点 C； （2） 若∠B 为直角，过点 B 作 AB 的垂线，与 x 轴的交点即为所求点 C； （3） 若∠C 为直角，以 AB 为直径作圆，与 x 轴的交点即为所求点 C．（直径所对的圆周角为直角） 例3.如图，在平面直角坐标系中，抛物线 y＝ax2+bx+c（a≠0）与 x 轴相交于 A，B 两点，与 y 轴相交于点 C，直线 y＝kx+n（k≠0）经过 B，C 两点，已知 A（1，0），C（0，3），且 BC＝5． （1）分别求直线 BC 和抛物线的解析式（关系式）； （2）在抛物线的对称轴上是否存在点 P，使得以 B，C，P 三点为顶点的三角形是直角三角形？若存在，请求出点 P 的坐标；若不存在，请说明理由． 训练点三：平行四边形存在性问题 【引例】已知 A（1，2）B（5，3）C（3，5），在坐标系内确定点 D 使得以 A、B、C、D 四个点为顶点的四边形是平行四边形． 例4.如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线 y ax2 bx 2(a 0) 与 x 轴交于 A(1, 0) ， B(3, 0) 两点，与 y 轴交于点C ，连接 BC ． （1）求该抛物线的解析式，并写出它的对称轴； （2）若点 N 为抛物线对称轴上一点，抛物线上是否存在点 M ，使得以 B ， C ， M ， N 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出所有满条件的点 M 的坐标；若不存在，请说明理由 随堂检测： 1.(2022天津,25,10分，节选)已知抛