4.3.2 等比数列的前n项和公式（第2课时）课件-2023-2024学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第二册

4.3.2 等比数列前项和公式 第2课时 人教A版（2019）选择性必修第二册 学习目标 1.掌握用等比数列知识解决增长率等问题的数学模型. 2.根据实际问题，学会建立对应的数学模型来解决问题. 3. 通过实际问题，发现等差数列和等比数列的不同特点. 4.核心素养：直观想象、数学运算、数学抽象 一、复习导入 等比数列前项和公式： = （1） = （2） 错位相减法 二、新课讲授 例10 如图，正方形的边长为，取各边的中点第2个正方形，然后再取正方形各边中点，作第3个正方形，依此方法一直继续下去. （1）求从正方形开始，连续10个正方形的面积之和； （2）如果这个作图过程可以一直继续下去，那么所有这些正方形的面积之和将无限趋近多少？ 分析：第1个正方形边长5cm 第2个正方形边长cm 第3个正方形边长cm … … 第个正方形边长为,则第个正方形边长为. ：设这10个正方形的边长构成数列{} ，则数列{} 是以5为首项， 为公比的等比数列. 分析：第1个正方形面积 525cm² 第2个正方形面积 = cm² 第3个正方形面积 = cm² … … 第个正方形面积为= ²,则第个正方形面积为 =. ：设这10个正方形的面积构成数列{} ，则数列{} 是以25为首项， 为公比的等比数列. 解：（1）设正方形的面积为，后继各正方形的面积依次为， 则=25. 由于第个正方形的，所以= 设这10个正方形的面积构成数列{} ，则数列{} 是以25为首项， 为公比的等比数列.设{} 的前项和为，则 = = =50 解：（2）由（1）可知， = = 由指数函数的性质可知，随着的无限增大， 将无限趋近于0， 则将无限趋近于1， = = 随着的无限增大，将无限趋近于50. 当的无限增大，将无限趋近于正方形的面积之和. 所以，这些正方形的面积之和将无限趋近于50. 极限思想：在一定的变化过程中，总体逐渐稳定的一种变化趋势以及趋向的值. 例11 去年某地产生的生活垃圾为20万吨，其中14万吨垃圾以填埋处理，6万吨垃圾以环保方式处理.预计每年生活垃圾的总量递增5%，同时，通过环保方式处理的垃圾量每年增加1.5万吨.为了确定处理生活垃圾的预算，请你测算一下从今年起5年内通过填埋方式处理的垃圾总量（精确到0.1万吨）. 分析：去年：20万吨 第一年：20+20=20(1+5%)万吨 第二年：20(1+5%)+ [20(1+5%)] %= 20(1+5%)²万吨 第三年： 20(1+5%)² + [20(1+5%)²] %= 20(1+5%)³万吨 … … ：从今年起每年生活垃圾的总量构成以20(1+5%)为首项， (1+5%)为公比的等比数列. 9 分析：去年：6万吨 第一年：6+1.5万吨 第二年： 6+1.5 +1.5= 6+1.5 2万吨 第三年： 6+1.5 2+ 1.5= = 6+1.5 万吨 … … ：从今年起每年以环保方式处理的垃圾量构成以（6+1.5）为首项， 1.5为公差的等差数列. = 解:设从今年起每年生活垃圾的总量（单位：万吨）构成数列{}，每年以环保方式处理的垃圾量（单位：万吨）构成数列{}，年内通过填埋方式处理的垃圾总量为 （单位：万吨），则 = 5时， ≈63.5 从今年起5年内，通过填埋方式处理的垃圾总量约为63.5万吨. 求和 三、课堂小结 1、等比数列的实际应用：解决增长率等问题 2、等差数列与等比数列的不同特点. 四、作业布置 课本P40：练习 第3题 $$