精品解析：2024年全国高中数学联赛模拟练习（一试）

2024年高中数学联赛模拟练习（一试）含答案 本试卷共2页，满分120分，答题时间80分钟. 姓名：_______________ 成绩：_______________ 一.填空题（每小题8分，满分64分） 1. 设非空集合满足，，则这样的个数为________． 2. 在锐角三角形中，边，，则边取值范围是________． 3. 设，函数满足对任意都成立，则的最大值为________． 4. 是双曲线的右支上一点，分别是圆和上的点，则的最大值为__________． 5. 已知向量，且和夹角为，若与的夹角为钝角，则的取值范围为________． 6. 甲、乙两人玩游戏，规则如下：第奇数局，甲赢的概率为；第偶数局，乙赢的概率为．每一局没有平局．规定：当其中一人赢的局数比另一人赢的局数多两次时游戏结束．则游戏结束时，甲、乙两人玩的局数的数学期望为________． 7. 若是棱长为正四面体内一点，以在四面体的四个面上的射影为顶点的新四面体的体积的最大值为________． 8. 一个平台的俯视图为一个3×3的方格表，初始时在中心的方格处有一只电子瓢虫，每过一秒钟，该瓢虫都会随机选择平行于平台边界的四个方向之一移动一个单位．如果瓢虫跌落平台就会“死亡”，那么在2023秒后，该瓢虫仍然“存活”的概率是________． 二、解答题（满分56分） 9. 已知复数列满足：，求． 10. 设非负实数满足.，求的最大值和最小值. 11. 已知点，、两点分别在轴、轴上运动，且满足，． （1）求轨迹方程； （2）若一正方形的三个顶点在点的轨迹上，求其面积的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024年高中数学联赛模拟练习（一试）含答案 本试卷共2页，满分120分，答题时间80分钟. 姓名：_______________ 成绩：_______________ 一.填空题（每小题8分，满分64分） 1. 设非空集合满足，，则这样的的个数为________． 【答案】 【解析】 【分析】利用非空集合子集的个数计算公式可求满足条件的的个数. 【详解】由题设可得， 这5组中的每一组中的元素必定同时出现在集合中， 故这样的非空集合的个数为， 故答案为： 2. 在锐角三角形中，边，，则边的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】利用二倍角的正弦公式和正弦定理可求的取值范围. 【详解】因为，故， 所以， 而三角形锐角三角形，故，故， 故即， 故答案：. 3. 设，函数满足对任意都成立，则的最大值为________． 【答案】## 【解析】 【分析】利用二次函数性质可求最大值. 【详解】由题设有， 故， 当且仅当或时取最大值， 故的最大值为， 故答案为： 4. 是双曲线的右支上一点，分别是圆和上的点，则的最大值为__________． 【答案】9 【解析】 【分析】分析可知两圆圆心恰好就是双曲线的焦点.要求的最大值即：的最大值减去的最小值来求解.通过可得到圆外一点和圆上一点距离的最大值和最小值即可. 【详解】由题意，圆的圆心为，半径为2，的圆心为，半径为1，故双曲线焦点即为两圆圆心. 所以的最大值即：的最大值减去的最小值. 的最大值为，的最小值为，根据双曲线的定义可得两者相减得. 故答案为：9 5. 已知向量，且和的夹角为，若与的夹角为钝角，则的取值范围为________． 【答案】 【解析】 【分析】利用数量积为负可求参数的取值范围. 【详解】因为与的夹角为钝角， 故且与不共线反向， 由可得， 即即，故或， 若与共线，则存在实数，使得， 而不共线，故即或， 当时，与共线同向； 当时，与共线反向； 故的取值范围为或或， 故答案为：. 6. 甲、乙两人玩游戏，规则如下：第奇数局，甲赢的概率为；第偶数局，乙赢的概率为．每一局没有平局．规定：当其中一人赢的局数比另一人赢的局数多两次时游戏结束．则游戏结束时，甲、乙两人玩的局数的数学期望为________． 【答案】## 【解析】 【分析】利用期望满足的性质可求题设中的数学期望. 【详解】设甲、乙两人玩的局数为，其数学期望为，由题设，游戏至少进行两局， 若，则比分为，且， 否则前两局的比分为，从此刻开始知道游戏结束，进行的局数的期望跟比分为时相同，总局数的期望为， 故，故， 故答案为：. 7. 若是棱长为的正四面体内一点，以在四面体的四个面上的射影为顶点的新四面体的体积的最大值为________． 【答案】 【解析】 【分析】先证明两个引理，再根据新四面体的特征结合引理2计算体积，最后根据引理1求最值. 【详解】引理1：若均为正数，则， 证明： , 而，，， ，故， 当且仅当时等号成立， ，， ，， 故 ，当且仅当时等号成立， 故，当且仅当时等号成