专题1.5 直角三角形（知识梳理与考点分类讲解）-2023-2024学年八年级数学下册基础知识专项突破讲与练（北师大版）

专题1.5 直角三角形（全章知识梳理与考点分类讲解）

【知识点一】直角三角形的性质定理与判定定理

1. 直角三角形角的性质定理 直角三角形的两个锐角互余.

几何语言：在△ABC中，

∵∠C=90°

∴∠A+∠B=90°

2. 直角三角形角的判定定理  有两个角互余的三角形是直角三角形

几何语言：在△ABC中，

∵∠A+∠B=90°

∴∠C=90°，即△ABC为直角三角形

特别解读

1. 直角三角形角的性质定理和判定定理的理论依据是三角形内角和定理.
2. 在直角三角形中，若已知两个锐角之间的关系，可结合两个锐角互余求出每个锐角的大小，不需要再利用三角形内角和定理求解.

【知识点二】勾股定理

1.勾股定理  直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方.

数学表达式：在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=c，AC=b，BC=a，则a²+b²=c²

2.勾股定理的变形公式  a²=c²-b²；b²=c²-a²

3.基本思想方法  勾股定理把“形”与“数”有机地结合起来，即把直角三角形这个“形”与三边关系这一“数”结合起来，它是数形结合思想的典范.

特别提醒

1. 勾股定理揭示的是直角三角形的三边的平方关系，只有在直角三角形中才可以使用勾股定理
2. 利用勾股定理，已知其中任意两边可以求出第三边.

【知识点三】勾股定理的逆定理

1. 勾股定理的逆定理  如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形.
2. 利用边的关系判定直角三角形的步骤

（1）“找”：找出三角形三边中的最长边.

（2）“算”：计算其他两边的平方和最长边的平方.

（3）“判”：若两者相等,则这个三角形是直角三角形；否则不是.

3. 勾股定理与其逆定理的关系

 

特别解读

1. a²+b²=c²只是一种表现形式，满足a²=b²+c²或b²=a²+c²的也是直角三角形，只是这时a或b为斜边.
2. 若最长边的平方与两短边的平方和大，则该三角形为钝角三角形；若最长边的平方比两短边的平方和小，则该三角形为锐角三角形.

 

【知识点四】“斜边、直角边”（“HL”）定理

1. 定理 斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角全等（可以简写成“斜边、直角边”或“HL”）
2. 书写格式

在Rt△ABC和Rt△A’B’C’中，

AB=A’B’

BC=B’C’

∴Rt△ABC≌Rt△A’B’C’（HL）

3. 判定两个直角三角形全等常用的思路方法

直角三角形	一锐角（A）	ASA或AAS	可证直角与已知锐角的夹边对应相等或证已知锐角（或直角）的对应边对应相等
	斜边（H）	HL或AAS	可证一条直角边对应相等或证一锐角对应相等
	一直角边（L）	HL或ASA或AAS或SAS	可证斜边对应相等或证与已知边相邻的锐角对应相等或已知边所对的锐角对应相等或证一直角边对应相等.

 

特别提醒

1. 应用“HL”判定两个直角三角形全等，在书写时两个三角形符号前一定要加上“Rt”
2. 判定两个直角三角形全等的特殊方法“HL”只适用于直角三角形全等的判定，对于一般三角形不适用.
3. 判定一般三角形全等的所有方法对判定两个直角三角形全等同样适用.

【考点目录】

【考点1】直角三角形两锐角互余➼求值或证明

【考点2】利用两锐角互余判断直角三角形➼求值或证明

【考点3】用HL证明三角形全等及应用➼求值或证明

【考点4】判断三角形为直角三角形➼求值或证明

【考点5】勾股定理的逆定理的应用➼求值或证明

【考点6】勾股定理的逆定理的拓展➼求值或证明

【考点1】直角三角形两锐角互余➼求值或证明

【例1】（2023上·四川泸州·八年级校考阶段练习）已知：如图，在、中，，，，点C、D、E三点在同一直线上，连接．

（1）求证：；

（2）试猜想、有何特殊位置关系，并证明．

【答案】（1）见详解；（2），证明见详解

【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，直角三角形的两锐角互余等知识．

（1）先证明，再根据“边角边”即可证明；

（2）根据得到，根据得到，即可证明，问题得证．

解：（1）证明：∵，

∴，

即．

在和中，

，

∴；

（2）解：．

证明：∵，

∴．

∵，

∴，