专题07 导数的几何意义及其应用-【备考期中期末】2023-2024学年高二数学上学期阶段复习讲义（人教A版2019选择性必修第二册）

专题07 导数的几何意义及其应用 一、导数的概念 1．函数y＝f(x)在x＝x0处的导数 定义：称函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率 为函数y＝f(x)在x＝x0处的导数，记作f′(x0)或y′|x＝x0，即. 2．函数f(x)的导函数 称函数为f(x)的导函数． 二、基本初等函数的导数公式及导数的运算法则 1. 基本初等函数的导数公式 原函数 导函数 f(x)＝c(c为常数) f′(x)＝0 f(x)＝xn(n∈Q*) f′(x)＝nxn－1 f(x)＝sin x f′(x)＝cosx f(x)＝cos x f′(x)＝－sinx f(x)＝ax f′(x)＝axlna f(x)＝ex f′(x)＝ex f(x)＝logax f′(x)＝ f(x)＝ln x f′(x)＝ 2．导数的运算法则 （1） [f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)； （2） [f(x)·g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)； （3）(g(x)≠0)． (4) 复合函数的导数 复合函数y＝f(g(x))的导数和函数y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为yx′＝yu′·ux′，即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积． 三、导数的几何意义 1.函数f(x)在点x0处的导数f′(x0)的几何意义是在曲线y＝f(x)上点(x0，f(x0))处的切线的斜率(瞬时速度就是位移函数s(t)对时间t的导数)．相应地，切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)． 2.特别提醒：区分在点处的切线与过点处的切线 （1）曲线y＝f (x)在点P(x0，y0)处的切线是指P为切点，斜率为f ′(x0)的切线，是唯一的一条切线． （2）曲线y＝f (x)过点P(x0，y0)的切线，点P不一定是切点，切线至少有一条，切线可能有多条． 3．几类重要的切线方程 (1)y＝x－1是曲线y＝ln x的切线，y＝x是曲线y＝ln(x＋1)的切线，…，y＝x＋n是曲线y＝ln(x＋n＋1)的切线，如图1. (2)y＝x＋1与y＝ex是曲线y＝ex的切线，如图2. (3)y＝x是曲线y＝sin x与y＝tan x的切线，如图3. (4)y＝x－1是曲线y＝x2－x，y＝xln x及y＝1－的切线，如图4. 由以上切线方程可得重要不等式，如ln x≤x－1，x＋1≤ex等． 4、 常用结论 1．奇函数的导数是偶函数，偶函数的导数是奇函数，周期函数的导数还是周期函数． 2.可导函数y＝f (x)的导数为f ′(x)，若f ′(x)为增函数，则f (x)的图象是下凹的；反之，若f ′(x)为减函数，则f (x)的图象是上凸的． 3．熟记以下结论： (1) ； (2) (f (x)≠0)； (3)[af (x)±bg(x)]′＝af ′(x)±bg′(x)． 题型一 导数的概念 【典例1】（2023上·江苏扬州·高二扬州市广陵区红桥高级中学校考阶段练习）设是定义在R上的可导函数，若（为常数），则（    ） A． B． C． D． 【典例2】（2023下·高二课时练习）已知物体运动的速度与时间之间的关系是：，则在时间间隔内的平均加速度是 ，在时的瞬时加速度是 ． 【规律方法】 1.根据导数的定义求函数在点处导数的方法： ①求函数的增量； ②求平均变化率； ③得导数，简记作：一差、二比、三极限. 2.函数y＝f (x)的导数f ′(x)反映了函数f (x)的瞬时变化趋势，其正负号反映了变化的方向，其大小|f ′(x)|反映了变化的快慢，|f ′(x)|越大，曲线在这点处的切线越“陡”． 3.瞬时速度是位移函数S(t)对时间的导数． 题型二：导数的运算 【典例3】【多选题】（2023上·江苏扬州·高二统考阶段练习）下列求导运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【典例4】（2023上·湖北·高二期末）已知函数，则在处的导数为（    ） A． B． C． D． 【总结提升】 1.求函数导数的一般原则如下： （1）连乘积的形式：先展开化为多项式的形式，再求导； （2）根式形式：先化为分数指数幂，再求导； （3）复杂公式：通过分子上凑分母，化为简单分式的和、差，再求导； （4）不能直接求导：适当恒等变形，转化为能求导的形式再求导． 2.复合函数的求导方法 求复合函数的导数，一般是运用复合函数的求导法则，将问题转化为求基本函数的导数解决. ①分析清楚复合函数的复合关系是由哪些基本函数复合而成的，适当选定中间变量； ②分步计算中的每一步都要明确是对哪个变量求导，而其中特别要注意的是中间变量； ③根据基本函数的 导数公式及导数的运算法则，求出各函数的导数，并把中间变量转换成自变