热点专练05 导数及其应用的二十五个考查热点-2023-2024学年高二数学知识•考点培优讲义（人教A版2019选择性必修第二册）

热点专练05 导数及其应用的二十五个考查热点 热点题型速览 热点一 导数的概念 1．（2023下·河南·高三校联考阶段练习）我国自主研发的世界首套设计时速达600公里的高速磁浮交通系统，标志着我国掌握了高速磁浮成套技术和工程化能力，这是当前可实现的“地表最快”交通工具，因此高速磁浮也被形象地称为“贴地飞行”．若某高速磁浮列车初始加速至时速600公里阶段为匀加速状态，若此过程中，位移x与时间t关系满足函数（为初速度，k为加速度且）．位移的导函数是速度与时间的关系．已知从静止状态匀加速至位移公里需，则时速从零加速到时速600公里需（    ） A． B． C． D． 2.（2020·北京·高考真题）为满足人民对美好生活的向往，环保部门要求相关企业加强污水治理，排放未达标的企业要限期整改，设企业的污水排放量W与时间t的关系为，用的大小评价在这段时间内企业污水治理能力的强弱，已知整改期内，甲、乙两企业的污水排放量与时间的关系如下图所示. 给出下列四个结论： ①在这段时间内，甲企业的污水治理能力比乙企业强； ②在时刻，甲企业的污水治理能力比乙企业强； ③在时刻，甲、乙两企业的污水排放都已达标； ④甲企业在这三段时间中，在的污水治理能力最强． 其中所有正确结论的序号是____________________． 【点评】 1..函数y＝f (x)的导数f ′(x)反映了函数f (x)的瞬时变化趋势，其正负号反映了变化的方向，其大小|f ′(x)|反映了变化的快慢，|f ′(x)|越大，曲线在这点处的切线越“陡”． 2.瞬时速度是位移函数S(t)对时间的导数． 热点二 导数的运算 3．（2022上·贵州黔东南·高二校考期末）设函数的导数为，且，则 ． 【点评】 求函数导数的一般原则如下： （1）连乘积的形式：先展开化为多项式的形式，再求导； （2）根式形式：先化为分数指数幂，再求导； （3）复杂公式：通过分子上凑分母，化为简单分式的和、差，再求导； （4）不能直接求导：适当恒等变形，转化为能求导的形式再求导． 热点三 曲线切线的斜率、倾斜角问题 4.（2024·四川遂宁·统考一模）若直线与曲线相切，则（    ） A． B． C． D． 5．（2023上·江苏南京·高二金陵中学校考期末）曲线在处的切线的倾斜角为，则的值为（    ） A． B． C． D． 热点四 求在曲线上一点的切线方程（斜率） 6．（2023上·河南洛阳·高三孟津县第一高级中学校考阶段练习）函数的图象在点处的切线方程为（    ） A． B． C． D． 7．（2023·全国·统考高考真题）曲线在点处的切线方程为（    ） A． B． C． D． 【点评】以曲线上的点(x0，f(x0))为切点的切线方程的求解步骤： ①求出函数f(x)的导数f′(x)； ②求切线的斜率f′(x0)； ③写出切线方程y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)，并化简． 热点五 过一点的切线方程（斜率）问题 8.（2023·全国·模拟预测）若曲线有两条过点的切线，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 9．（2023·全国·模拟预测）过原点可以作曲线的两条切线，则这两条切线方程为（    ） A．和 B．和 C．和 D．和 【点评】 如果已知点(x1，y1)不在曲线上，则设出切点(x0，y0)，解方程组得切点(x0，y0)，进而确定切线方程．求切线方程时，要注意判断已知点是否满足曲线方程，即是否在曲线上；与曲线只有一个公共点的直线不一定是曲线的切线，曲线的切线与曲线的公共点不一定只有一个． 热点六 求切点坐标 10．（2023上·陕西咸阳·高三校考阶段练习）已知函数，过原点作曲线的切线，则切点的坐标为（    ） A． B． C． D． 11.（2023上·江苏扬州·高二统考阶段练习）已知函数． (1)求曲线在点处的切线方程； (2)直线为曲线的切线，且经过原点，求直线的方程及切点坐标． 【点评】 已知斜率求切点：已知斜率k，求切点(x1，f(x1))，即解方程f′(x1)＝k. 热点七 切线的平行与垂直 12．（2023·四川凉山·统考一模）函数在区间的图象上存在两条相互垂直的切线，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 13.（2023·四川宜宾·统考一模）若函数在处的切线平行于x轴，则 ． 热点八 曲线的公切线问题 14.（2023·四川绵阳·统考模拟预测）若函数与函数的图象在公共点处有相同的切线，则实数（    ） A． B． C． D． 15.（2023上·江苏常州·高三常州高级中学校考开学考试）在平面直角坐标系中，若过点且同时与曲线，曲线都相切的直线有两条，则点的坐标为 ． 【点评】 1.解决此类问题通常有两种方