2024年中考数学二轮复习之圆动点问题(线圆最值）讲义

2023~2024学年中考数学之隐含圆问题 历届中考中，涉及隐含圆的几何动点问题，是常见高频考题。明明图中没有圆，却使用到了圆的知识点；对于这类题型，我们称之为“隐含圆问题” 【模型建立】： （1）定弦定角 （2）动点到定点定长（通俗点讲：动点到一顶点的距离不变） （3）直角所对的弦是直径 （4）四点共圆（对角互补） （5）点圆最值 （6）线圆最值 记忆口诀：定点定长走圆周，定弦定角跑双弧 直角必有外接圆，对角互补也共圆 【模型一：定弦定角】 α 2α α α 前言：在圆O中，若弦AB长度固定 则弦AB所对的圆周角都相等（注意：弦AB在劣弧）AB上也有圆周角，需要根据题目灵活运用 2α α 后语：若有一固定线段AB及线段AB所对的∠C大小固定，C在圆O的优弧ACB上均可（至于是优弧还是劣弧取决于∠C的大小，小于90°，则C在优弧上运动；等于90°，则C在半圆上运动；大于90°则C在劣弧运动） 1．（2023·凤岗模拟）如图，在正方形ABCD中，AB＝4，E是对角线BD的中点，点F为BC所在直线上方一点，连接BF、CF、EF，若∠BFC＝30°，则EF长的最大值为　 　． 2．（2023·临潼模拟）如图所示，为矩形中边上的一点，已知，，若点在矩形内部，且，则的最小值为　 　． 3．（2021·安徽模拟）如图，直角 中， ，AC=8， ，点 是 内部一动点，总满足∠APC=150°，连接 ，则 的最小值为（　　） A． B． C． D． 4．（2023·惠山模拟）如图，抛物线与x轴交于点． （1）求抛物线的函数表达式； （2）点是抛物线上一点，点C是线段上一点，连接并延长交抛物线于点D，若，求点D的坐标； （3）抛物线上是否存在点P，使得？若存在，求出点P的坐标：若不存在，说明理由． 【模型二：动点到定点定长】 前言：在圆O中，OA=OB=OC=OD 后语：若有AB=AC=AD,则B、C、D三点在以A为圆心，AB为半径的圆上。 【理论依据：“到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆“—圆的定义】 【模型三：直角所对的是直径】 前言：在圆O中，AB为直径，则始终有AB所对的∠C=90° 后语：若有AB是固定线段，且总有∠ACB=90°，则C在以AB为直径的圆上。（此类型本来属于定弦定角，但考频较高，且较为特殊故单独归为一类） 1． （2023九上·期末）如图，在Rt△ABC中，AB⊥BC，AB=6，BC=4．P是△ABC内部的一个动点，且满足∠PAB=∠PBC ，则线段CP长的最小值为　 　 2．（2023八下·芜湖期末）如图，正方形中，，E为边上一动点，连接，过点B作于F，连接，则的最小值为　 　． 【模型四：四点共圆】 1 2 3 4 前言：在圆O中，ABCD是圆的内接四边形，则有∠1=∠2，∠3=∠4，△BPC∽△APD(同理△BPA∽△CPD) 1 2 3 4 后语：若四边形ABCD中有∠1=∠2（通常情况下∠5=∠6对顶角相等，故不需要∠3=∠4，实际应用中常用∠1=∠2，∠5=∠6）则ABCD四点（某些不能直接使用四点共圆的地区，可以通过证明两次三角形相似也可），选填题可以直接使用 1．（2022·东平模拟）如图，在矩形ABCD中，E、F分别在BC、CD上运动（不与端点重合），连接BF、AE，交于点P，且满足．连接CP，若AB=4，BC=6，则CP的最小值为 （　　） A．2－3 B．2－2 C．5 D．3 【模型五：点圆最值】 平面内一定点D和圆O上动点E的连线中，当连线过圆心O时，线段DE的最大值和最小值，具体如以下三种情况，分类讨论（规定：OD=d，圆的半径为r） ① ② （1）当D点在圆O外时，d＞r,如图①② ；当D、E、O三点共线时，线段DE出现最值.DE的最大值为d+r，DE的最小值为d-r； ③ （2）当D点在圆O上时，d=r,如图③④ ；当D、E、O三点共线时，线段DE出现最值.DE的最大值为d+r=2r(即圆O直径），DE的最小值为d-r=0； ⑤ ⑥ 3）当D点在圆O内时，d＜r,如图⑤⑥ ；当D、E、O三点共线时，线段DE出现最值.DE的最大值为d+r，DE的最小值为r-d； 1.（2023·徐汇模拟）如图，在直角坐标系中，已知点、点，的半径为5，点C是上的动点，点P是线段的中点，那么长的取值范围是　 　． 【模型六：线圆最值】 点C在优弧上 【1】（点圆距离）圆外一点P,连接PQ与圆交于A、B两点，则PA为P到圆上最远距离，PB为P到圆上最短距离。 图①：点C在优弧上 点C在优弧上 图②：点C在劣弧上 【3】如图，AB为圆O的一条