2.1 直线与圆的位置关系（第2课时）（教学课件）数学浙教版九年级下册

2.1 直线与圆的位置关系 第2课时 切线的判定与性质 数学（浙教版） 九年级 下册 第2章 直线与圆的位置关系 学习目标 1．会判定一条直线是否是圆的切线并会过圆上一点作圆的切线； 2．掌握切线的判定定理并解决问题； 3、理解并掌握圆的切线的性质定理； 　 导入新课 转动雨伞时飞出的雨滴，用砂轮磨刀时擦出的火花，都是沿着什么方向飞出的？ 都是沿切线方向飞出的. 生活中常看到切线的实例，如何判断一条直线是否为切线呢？学完这节课，你就都会明白. 讲授新课 知识点一 切线的判定定理 直线和圆的位置关系有几种？用数量关系如何来判断？   交点个数 位置关系 数量关系 d＜r d＝r d＞r 相交 两个公共点 只有一个公共点 没有公共点 相切 相离 讲授新课 判断一条直线是一个圆的切线有三个方法： 1.定义法：直线和圆只有一个公共点时，我们说这条直线是圆的切线; 2.数量关系法：圆心到这条直线的距离等于半径(即d=r)时，直线与圆相切； 3.判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线. l A l O l r d 讲授新课 可以看出，这时圆心O到直线l的距离就是⊙O的半径，直线l就是⊙O的切线. 思考 如图，在⊙O中，经过半径OA的外端点A作直线l⊥OA，则圆心O到直线l的距离是多少？直线l和⊙O有什么位置关系？ 切线的判定定理： 经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线. 符号语言 ∵OA是半径，l⊥OA ∴l是⊙O的切线. 【注意】 ①过半径的外端 ②垂直于半径 讲授新课 典例精析 【例1】如图,∠ABC=45°，直线AB是☉O上的直径，且AB=AC. 求证：AC是☉O的切线. 分析：直线AC经过半径的一端，因此只要证OA垂直于AB即可. 证明：∵AB=AC，∠ABC＝45°， ∴∠ACB＝∠ABC＝45°. ∴∠BAC=180°-∠ABC-∠ACB=90°. ∵AB是☉O的直径， ∴ AC是☉O的切线. 讲授新课 练一练 1、已知：直线AB经过⊙O上的点C，并且OA=OB，CA=CB.求证：直线AB是⊙O的切线. O B A C 分析：由于AB过⊙O上的点C，所以连接OC，只要证明AB⊥OC即可. 证明：连接OC(如图). ∵ OA＝OB,CA＝CB, ∴ OC是等腰三角形OAB底边AB上的中线.　 ∴ AB⊥OC. ∵ OC是⊙O的半径, ∴ AB是⊙O的切线. 讲授新课 2、如图,△ABC 中，AB ＝AC ，O 是BC的中点，⊙O 与AB 相切于E.求证：AC 是⊙O 的切线． B O C E A 分析：根据切线的判定定理，要证明AC是⊙O的切线，只要证明由点O向AC所作的垂线段OF是⊙O的半径就可以了，而OE是⊙O的半径，因此只需要证明OF=OE. F 讲授新课 证明：连接OE ，OA, 过O 作OF ⊥AC. ∵⊙O 与AB 相切于E ， ∴OE ⊥ AB. 又∵△ABC 中，AB ＝AC ，O 是BC 的中点． ∴AO 平分∠BAC， F B O C E A ∴OE ＝OF. ∵OE 是⊙O 半径，OF ＝OE，OF ⊥ AC. ∴AC 是⊙O 的切线． 又OE ⊥AB ，OF⊥AC. 讲授新课 (1) 有交点，连半径,证垂直; (2) 无交点，作垂直,证半径. 证切线时辅助线的添加方法 例1 例2 有切线时常用辅助线添加方法 见切点，连半径，得垂直. 切线的其他重要结论 (1)经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点; (2)经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心. 讲授新课 知识点二 切线的性质 思考 将上面“思考”中的问题反过来，如图，如果直线l是⊙O的切线，切点为A，那么半径OA与直线l是不是一定垂直呢？ 证明：假设半径OA与直线l不垂直，那么过点O作OB⊥l，垂足为B. 由于“点到直线的距离垂线段最短”，所以OB＜OA. 根据“直线l和⊙O相交d＜r”，所以直线l和⊙O相交. 这与已知相矛盾，因此假设不成立，则半径OA与直线l垂直. ¬ B 讲授新课 切线的性质定理： 圆的切线垂直于过切点的半径. 符号语言 ∵l是⊙O的切线， ∴l⊥OA. 讲授新课 典例精析 【例2】如图，PA为⊙O的切线，A为切点．直线PO与⊙O交于B、C两点，∠P＝30°，连接AO、AB、AC. (1)求证：△ACB≌△APO； (2)若AP＝ ，求⊙O的半径． 解析：(1)根据已知条件我们易得∠CAB=∠PAO=90°，由∠P=30°可得出∠AOP=60°，则∠C=30°=∠P，即AC= AP；这样就凑齐了角边角，可证得△ACB≌△APO； (2)由已