第02讲 平面向量的运算（4个知识点+方法练+创新练+成果练）-2024年高一数学寒假预习核心知识点与常见题型通关讲解练（人教A版2019必修第二册）

第02讲 平面向量的运算（4个知识点+方法练+创新练+成果练） 【目录】 【新知讲解】 知识点1.向量的加法运算 知识点2.向量的减法运算 知识点3.向量的数乘运算 知识点4.向量的数量积 【方法练】 【创新练】 【成果练】 【知识导图】 【新知讲解】 知识点1.向量的加法运算 1．向量加法的定义 定义：求两个向量和的运算，叫做向量的加法． 对于零向量与任意向量a，规定0＋a＝a＋0＝a. 2．向量求和的法则 三角形法则 已知非零向量a，b，在平面内任取一点A，作＝a，＝b，则向量叫做a与b的和，记作a＋b，即a＋b＝A＋＝. 平行四边形法则 已知两个不共线向量a，b，作＝a，＝b，以，为邻边作▱ABCD，则对角线上的向量＝a＋b. 3．向量加法的运算律 (1)交换律：a＋b＝b＋a. (2)结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)． 例1．（2023上·黑龙江·高二统考学业考试）如图，在平行四边形中，（    ） A． B． C． D． 例2．（2023·全国·高一随堂练习）如图，已知向量、，用向量加法的三角形法则作出向量． (1)   (2)   (3)   知识点2.向量的减法运算 1．相反向量 (1)定义：与向量a长度相等，方向相反的向量，叫做a的相反向量． (2)性质：①－(－a)＝a.②对于相反向量有：a＋(－a)＝0. ③若a，b互为相反向量，则a＝－b，a＋b＝0. 2．向量的减法 (1)定义：a－b＝a＋(－b)，即减去一个向量相当于加上这个向量的相反向量． (2)作法：在平面内任取一点O，作＝a，＝b，则向量＝a－b，如图所示． 求作两个向量的差向量的两种思路 (1)可以转化为向量的加法来进行，如a－b，可以先作－b，然后作a＋(－b)即可． (2)可以直接用向量减法的三角形法则：即把两向量的起点重合，则差向量为连接两个向量的终点，指向被减向量的终点的向量． 例3．（2023·全国·高一随堂练习）如图，在中，向量是哪两个向量的和，哪两个向量的差？    知识点3.向量的数乘运算 1．向量的数乘运算 (1)定义：规定实数λ与向量a的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作：λa，它的长度与方向规定如下： ①|λa|＝|λ||a|； ②当λ＞0时，λa的方向与a的方向相同； 当λ＜0时，λa的方向与a的方向相反． (2)运算律：设λ，μ为任意实数，则有： ①λ(μ a)＝(λμ)a； ②(λ＋μ)a＝λa＋μ a； ③λ(a＋b)＝λa＋λb； 特别地，有(－λ)a＝λ(－a)＝－(λa)； λ(a－b)＝λa－λb. (3)线性运算：向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算，向量线性运算的结果仍是向量．对于任意向量a，b，以及任意实数λ，μ1，μ2，恒有λ(μ1a＋μ2b)＝λμ1a±λμ2b. 2．共线向量定理 向量a(a≠0)与b共线的充要条件是：存在唯一一个实数λ，使b＝λa. 注意： 1．实数与向量可以进行数乘运算，但不能进行加减运算，例如λ＋a，λ－a是没有意义的． 2．λa几何意义就是把向量a沿着a的方向或反方向扩大或缩小为原来的|λ|倍，向量表示与向量a同向的单位向量． 3．判断两个向量是否共线，关键是能否找到一个实数λ，使b＝λa.若λ存在，则共线；λ不存在，则不共线． 4．共线向量定理的应用 ①证明向量共线：对于向量a与b，若存在实数λ，使a＝λb，则a与b共线(平行)． ②证明三点共线：若存在实数λ，使＝λ，则A、B、C三点共线． ③求参数的值：利用共线向量定理及向量相等的条件列方程(组)求参数的值． 特别注意：①证明三点共线问题，应注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得到三点共线． ②若a与b不共线且λa＝μb，则λ＝μ＝0. 5．注意记住以下结论并能运用 (1)若A，B，P三点共线，则＝x＋y且x＋y＝1. (2)在△ABC中，若D为BC的中点，则＝(＋)． (3)在△ABC中，若G为△ABC的重心，则＋＋＝0. 例4．（2021下·山西·高一统考阶段练习）已知，是平面内两个不共线的向量，，，，且A，C，D三点共线，则（    ） A． B．2 C．4 D． 知识点4. 向量的数量积 1．两向量的夹角 (1)定义：已知两个非零向量a，b，O是平面上的任意一点，作＝a，＝b，则∠AOB＝θ(0≤θ≤π)叫做向量a与b的夹角． (2)特例：①当θ＝0时，向量a，b同向． ②当θ＝π时，向量a，b反向． ③当θ＝时，向量a，b垂直，记作a⊥b. 2．平面向量数量积的定义 已知两个非零向量a与b，它们的夹角为θ，把数量|a||b|cos θ叫做向量a与b的数量积(或内积)，记作a·b，即a·b＝|a||b|cos θ.特别地