考点17 空间向量在空间几何中的应用讲义-2024届新高考高三艺体生数学一轮复习

考点17 空间向量在空间几何中的应用 一．空间角的概念及范围 空间角 解题思路 夹角范围 线线角 设两异面直线 l1，l2 所成的角为θ，其方向向量分别为 则 线面角 l为平面α的斜线，为l的方向向量，为平面α的法向量， φ为l与α所成的角，则 二面角 平面α的法向量为，平面β的法向量为，〈，〉＝θ， 设二面角大小为φ，则 二．空间角的解题思路 1.异面直线所成的角 (1)建立空间直角坐标系； (2)用坐标表示两异面直线的方向向量； (3)利用向量的夹角公式求出向量夹角的余弦值； (4)注意两异面直线所成角的范围是，即两异面直线所成角的余弦值等于两向量夹角的余弦值的绝对值. 2.直线与平面所成角向量法 （1）斜线的方向向量 （2）平面的法向量 （3）斜线的方向向量与平面的法向量所夹的锐角（或钝角的补角），取其余角就是斜线和平面所成的角. 3.二面角向量法 （1）找法向量：分别求出二面角的两个半平面所在平面的法向量，然后通过两个平面的法向量的夹角得到二面角的大小，但要注意结合实际图形判断所求角的大小； （2）找与棱垂直的方向向量：分别在二面角的两个半平面内找到与棱垂直且以垂足为起点的两个向量，则这两个向量的夹角的大小就是二面角的大小. 三．空间距离 1.点到线的距离 概念：过一点作垂直于已知平面的直线，则该点与垂足间的线段，叫做这个点到该平面的垂线段，垂线段的长度叫做这个点到该平面的距离； 设＝，直线l的一个单位方向向量为，则向量在直线l上的投影向量＝，在Rt△APQ中，由勾股定理，得PQ＝ ＝ 2.两异面直线间的距离：即两条异面直线公垂线段的长度. 3.点到平面的距离：已知平面α的法向量为，A是平面α内的定点，P是平面α外一点.过点P作平面α的垂线l，交平面α于点Q，则是直线l的方向向量，且点P到平面α的距离就是在直线l上的投影向量的长度.因此 4.直线到平面的距离：一条直线与一个平面平行时，这条直线上任意一点到这个平面的距离，叫做这条直线到这个平面的距离； 5.两个平面间的距离：如果两个平面平行，那么其中一个平面内的任意一点到另一个平面的距离都相等，我们把它叫做这两个平行平面间的距离. 考点一 异面直线的向量法 【例1】（2023·山东淄博）如图，在圆锥SO中，AB是底面圆的直径，,  D，E分别为SO，SB的中点，点C是底面圆周上一点（不同于A,B）且，则直线AD与直线CE所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【变式】 1．（2023江苏）如图，四棱锥中，底面是矩形，，，，，是等腰三角形，点是棱的中点，则异面直线与所成角的余弦值是（    ） A． B． C． D． 2．（2023·天津）如图，在棱长为2的正方体中，点分别是棱的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（    ）    A． B． C． D． 3．（2023·广东佛山）在三棱锥中，已知平面分别为的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 考点二 线面角的向量法 【例2】（2023·云南昆明）如图，在三棱锥中，平面，点，分别是和的中点，设，，直线与直线所成的角为. (1)求的长； (2)求直线与平面所成角的正弦值. 【变式】 1．（2023·广东）如图，在四面体中，平面，是的中点，是的中点，点在线段上，且．    (1)求证：平面； (2)若，，求与平面所成角的余弦值． 2．（2024·海南省直辖县级单位·高三校考阶段练习）如图，多面体由正四棱锥和正四面体组合而成.    (1)证明：平面； (2)求与平面所成角的正弦值. 3．（2023·云南临沧）如图，在三棱锥中，为正三角形，平面平面. (1)求证：； (2)若是的中点，求直线与平面所成角的正弦值. 考法三 二面角的向量法 【例3】（2023·山西吕梁）如图，在四棱锥中，底面四边形为菱形，平面，过的平面交平面于．    (1)证明：平面； (2)若平面平面，四棱锥的体积为，求平面与平面夹角的余弦值. 【变式】 1．（2023·北京·统考高考真题）如图，在三棱锥中，平面，．    (1)求证：平面PAB； (2)求二面角的大小． 2．（2023·全国·统考高考真题）如图，三棱锥中，，，，E为BC的中点． (1)证明：； (2)点F满足，求二面角的正弦值． 3．（2022·全国·统考高考真题）如图，是三棱锥的高，，，E是的中点．    (1)证明：平面； (2)若，，，求二面角的正弦值． 考法四 点到线距离的向量法 【例4】（2023·江苏徐州）在空间直角坐标系中，直线的方程为，空间一点，则点到直线的距离为（    ） A． B．1 C． D． 【变式】 1．（2023·广东佛山·统考模拟预测）如图，在平行六面体中，以顶点A为端点