考点16 空间几何的体积与表面积 讲义——2024届新高考艺体生数学一轮复习

考点16 空间几何的体积与表面积 一．圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式 圆柱 圆锥 圆台 侧面展开图 侧面积公式 S圆柱侧＝2πrl S圆锥侧＝πrl S圆台侧＝π(r＋r′)l 二．空间几何体的表面积与体积公式 名称 几何体　　 表面积 体积 柱体(棱柱和圆柱) S表面积＝S侧＋2S底 V＝Sh 锥体(棱锥和圆锥) S表面积＝S侧＋S底 V＝Sh 台体(棱台和圆台) S表面积＝S侧＋S上＋S下 V＝(S上＋S下＋)h 球 S＝4πR2 V＝πR3 三．求空间几何体的体积的常用方法 公式法 对于规则几何体的体积问题，可以直接利用公式进行求解 割补法 把不规则的图形分割成规则的图形，然后进行体积计算；或者把不规则的几何体补成规则的几何体，不熟悉的几何体补成熟悉的几何体，便于计算其体积 等体积法 等体积法也称等积转化或等积变形，它是通过选择合适的底面来求几何体体积的一种方法，多用来解决三棱锥的体积 四．求解几何体表面积的类型及求法 求多面体的表面积 只需将它们沿着棱“剪开”展成平面图形，利用求平面图形面积的方法求多面体的表面积 求旋转体的表面积 可以从旋转体的形成过程及其几何特征入手，将其展开后求表面积 求不规则几何体的表面积时 通常将所给几何体分割成基本的柱体、锥体、台体，先求出这些基本的柱体、锥体、台体的表面积，再通过求和或作差，求出所给几何体的表面积 考点一 空间几何的体积 【例1-1】（2023·全国·统考高考真题）底面边长为4的正四棱锥被平行于其底面的平面所截，截去一个底面边长为2，高为3的正四棱锥，所得棱台的体积为 ． 【例1-2】（2023·河南·校联考模拟预测）若圆锥的母线长为6，其侧面展开图的面积为，则这个圆锥的体积为（    ） A． B． C． D． 【例1-3】（2023·全国·模拟预测）已知正三棱台的上、下底面边长分别为4和6，斜高为1，则该正三棱台的体积为（    ） A． B． C． D． 【变式】 1．（2023·广东·东莞市）圆锥侧面展开图为圆心角为直角，半径为2的扇形，则圆锥的体积为 . 2．（2023·全国·统考高考真题）已知圆锥PO的底面半径为，O为底面圆心，PA，PB为圆锥的母线，，若的面积等于，则该圆锥的体积为（    ） A． B． C． D． 3．（2023·全国·统考高考真题）在三棱锥中，是边长为2的等边三角形，，则该棱锥的体积为（    ） A．1 B． C．2 D．3 4．（2023·全国·统考高考真题）在正四棱台中，，则该棱台的体积为 ． 考点二 空间几何的表面积 【例2-1】（2023·西藏拉萨·统考一模）若一个圆锥的轴截面是一个腰长为，底边上的高为1的等腰三角形，则该圆锥的侧面积为（    ） A． B． C． D． 【例2-2】（2023·山东烟台·统考三模）已知底面半径为的圆锥，其轴截面为正三角形，若它的一个内接圆柱的底面半径为，则此圆柱的侧面积为（    ） A． B． C． D． 【变式】 1（2023·河南新乡·统考一模）已知某圆锥的侧面展开图是一个半圆，若圆锥的体积为，则该圆锥的表面积为 ． 2．（2023·河北唐山·模拟预测）在圆锥中，为底面圆心，为圆锥的母线，且，若棱锥为正三棱锥，则该圆锥的侧面积为 ． 3．（2023·浙江宁波·统考一模）已知圆台的上､下底面半径分别为1和2，体积为，则该圆台的侧面积为 . 考点三 外接球体积与表面积 【例3-1】（2023·浙江绍兴）已知某正六棱柱的所有棱长均为2，则该正六棱柱的外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【例3-2】（2023·全国·模拟预测）已知一个圆锥的侧面展开图是一个圆心角为，半径为的扇形．若该圆锥的顶点及底面圆周都在球O的表面上，则球O的体积为（    ） A． B． C． D． 【变式】 1．（2023·贵州六盘水·统考模拟预测）如图，在四面体中，，，则四面体外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 2．（2023·四川泸州·四川省叙永第一中学校校考一模）如图四面体中，是边长为的正三角形，棱，则四面体的外接球的表面积是（    ） A． B． C． D． 3（2023·广西·模拟预测）已知正四棱台的上下底面边长分别为4，6，高为.则正四棱台的体积为 ，外接球的半径为 . 4．（2023·全国·模拟预测）已知圆柱内接于球，当圆柱的侧面积与球的表面积之比最大时，圆柱与球的体积之比为 . 考点四 体积与表面积的最值 【例4-1】（2022·全国·统考高考真题）已