考点15 空间几何的平行与垂直讲义-2024届新高考高三艺体生数学一轮复习

考点15 空间几何的平行与垂直 一．直线与平面平行的判定定理和性质定理 文字语言 图形语言 符号语言 判定 定理 平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行(线线平行⇒线面平行) ∵l∥a，a⊂α，l⊄α，∴l∥α 性质 定理 一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行(简记为“线面平行⇒线线平行”) ∵l∥α，l⊂β，α∩β＝b，∴l∥b 二．平面与平面平行的判定定理和性质定理 文字语言 图形语言 符号语言 判定定理 一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行(简记为“线面平行⇒面面平行”) ∵a∥β，b∥β，a∩b＝P，a⊂α，b⊂α，∴α∥β 性质定理 如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行 ∵α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b，∴a∥b 如果两个平面互相平行，其中一个平面内的一直线平行与另外平面 3． 线线平行 1. 相似比（常用三角形的中位线） 2. 构造平行四边形（证明一组对边平行且相等） 3. 平行的传递性 4. 线面垂直的性质：垂直同一个平面的两条直线平行 5. 线面平行的性质 6. 面面平行的性质 7. 平面向量 8. 空间向量 4． 线面平行 证明线面平行有两种常用方法： 一是线面平行的判定定理； 二是先利用面面平行的判定定理证明面面平行，再根据面面平行的性质证明线面平行． 五．直线与平面垂直 (1)直线和平面垂直的定义： 直线l与平面α内的任意一条直线都垂直，就说直线l与平面α互相垂直 (2)直线与平面垂直的判定定理及性质定理： 文字语言 图形语言 符号语言 判定定理 一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直 ⇒l⊥α 性质定理 垂直于同一个平面的两条直线平行 ⇒a∥b 六．平面与平面垂直的判定定理与性质定理 文字语言 图形语言 符号语言 判定定理 一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直 ⇒α⊥β 性质定理 两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直 ⇒l⊥α 七．证明线线垂直的思路 考点一 证明线面平行常用方法 【例1-1】（2023·云南昭通）如图，在四棱锥中，正方形的边长为2，是的中点，求证：平面    【例1-2】（2023·辽宁）如图，在四棱锥中，底面是边长为的菱形，，、分别为、的中点，证明：平面. 【例1-3】（2023北京）如图，四棱锥中，底面为直角梯形，且，点在棱上.证明：当时，直线平面 【例1-4】（2023·安徽）已知四棱锥中，，设平面平面，求证： 【例1-5】（2023·江苏）如图，在多面体ABCDEE中，求证：平面 【例1-6】（2023江西）在如图所示的几何体中，，，均为等边三角形，且平面平面，平面平面，证明：； 【变式】 1．（2023·辽宁）如图，四棱锥中，底面为正方形，E为中点，证明：平面 2．（2023·江西）如图，在四棱锥中，为线段的中点，，证明：平面 3．（2023·内蒙古）如图，在正方体中，E是的中点，求证：平面    4．（2023·甘肃）如图，在四棱锥中，四边形为矩形，M，N分别为，的中点，求证：平面 5．（2023·河南）在棱长为2的正方体中，是底面的中心，求证:平面 6（2023·福建）如图，四边形为矩形，是中点，是中点，点在线段上，且，求证：平面 7．（2023·重）五棱锥中，，，，，，为的中点，求证：平面    8.（2024·全国·模拟预测）如图，在四棱锥中，底面为梯形，平面平面，，，是等边三角形，O，M分别为线段AB，PB的中点，且，，求证：平面       9．（2023·江西）如图，已知四边形为菱形，对角线与相交于O，，平面平面直线，求证： 10．（2023春·山东滨州）如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为梯形，，AB=2CD，设平面PAD与平面PBC的交线为l，PA，PB的中点分别为E，F，证明：平面DEF．    考点二 证明面面平行 【例2】（2023·辽宁朝阳）如图，已知四边形为菱形，平面，平面，，证明：平面平面    【变式】 1．（2023·海南海口·校联考一模）如图所示的多面体由正四棱柱与正四棱锥组合而成，与交于点，，，，证明：平面平面 2．（2023·全国·高三专题练习）在如图所示的多面体中，形为矩形，求证：平面平面 3（2023·陕西）如图所示，已知点P是平行四边形所在平面外一点，M，N，Q分别，，的中点，平面平面． （1）证明平面平面； （2）求证：． 考点三 证明线面垂直 【例3-1】（2023·浙江温州）如图，直三棱柱中，是边长为2的正三角形，O为的中点，证