19.2.2.1 一次函数的概念教案 -2023-2024学年人教版数学八年级下册

19.2.2　一次函数 教学设计 课题 一次函数的概念 授课人 素养目标 1.结合具体情境理解一次函数的意义，能结合实际问题中的数量关系写出一次函数的解析式． 2．能辨别一次函数与正比例函数的区别与联系，感悟一般与特殊之间的关系． 3．会从实际问题中建立一次函数模型解决简单的问题. 教学重点 一次函数概念的理解和根据已知信息写出一次函数的解析式． 教学难点 从实际生活问题中建立一次函数模型. 教学活动 教学步骤 师生活动 活动一：设置情境，导入新课 设计意图 结合实例，吸引学生注意力，为学习新知识做好铺垫. 【情境导入】 (教材P89问题2)某登山队大本营所在地的气温为5 ℃，海拔每升高1 km气温下降6 ℃.登山队员由大本营向上登高x km时，他们所在位置的气温是y ℃.试用函数解析式表示y与x的关系．这个函数是正比例函数吗？它与正比例函数有什么不同？ 答：y随x变化的规律是：从大本营向上，当海拔增加x km时，气温从5 ℃减少6x ℃. 因此y与x的函数解析式为y＝5－6x.这个函数也可以写为y＝－6x＋5.这个函数不是正比例函数．它与正比例函数形式不同． 这节课我们将学习探究这种函数. 【教学建议】 教师带领学生共同探讨得到的实际问题的函数解析式，比较该函数与正比例函数的异同. 活动二：问题引入，自主探究 设计意图 从大量生动有趣的实际问题情境出发，通过对一般规律的探索，从实际问题中抽象出一次函数的概念. 探究点　一次函数的概念 阅读教材P90思考，回答其问题． 答：4个问题中，变量之间的对应关系都是函数关系． 这些问题的函数解析式分别为： (1)c＝7t－35(20≤t≤25)；(2)m＝h－105； (3)y＝0.1x＋22; (4)y＝－5x＋50(0≤x＜10)． 正如活动一中的函数y＝－6x＋5一样，上面这些函数都是常数k与自变量的积与常数b的和的形式． 概念引入：一般地，形如y＝kx＋b(k，b是常数，k≠0)的函数，叫做一次函数． 提问：当b＝0时，y＝kx＋b是我们之前学习过的哪种函数？ 答：当b＝0时，y＝kx＋b即y＝kx，是正比例函数，所以说正比例函数是一种特殊的一次函数． 【教学建议】 学生分组讨论写出函数解析式，找出此类函数解析式的共同特征，由教师总结出一次函数的概念．要特别强调：①自变量系数不为0(k≠0)；②变量y与x的次数均为1. 第1课时　一次函数的概念 教学步骤 师生活动 归纳总结：正比例函数与一次函数的区别与联系可用图表表示如下： 【对应训练】 教材P90练习第1题． (等于某个正方形的面积减去4个直角三角形的面积)，再引导学生得到命题； (3)可以让学生拿一张长方 活动三：重点突破，提升探究 设计意图 引导学生利用一次函数的两组对应值或结合实际问题中的相等关系，求出一次函数的解析式. 例1 已知一次函数y＝kx＋b，当x＝1时，y＝2；当x＝2时，y＝1. (1)求该一次函数的解析式； (2)当x＝3时，求y的值. 解：(1)将x＝1，y＝2和x＝2，y＝1分别代入y＝kx＋b， 得解得所以该一次函数的解析式为y＝－x＋3.(2)当x＝3时，y＝－3＋3＝0. 例2　根据市卫生部门的要求，游泳池必须定期换水后才能对外开放，在换水时需要经历“排水－清洗－注水”的过程．某个蓄水2 500 m3的游泳池在打开排水阀后，以20 m3/min的速度排水. (1)写出该游泳池中剩余水量y(单位：m3)关于排水时间x(单位：min)的函数解析式，这个函数是一次函数吗？(不要求写出自变量的取值范围) (2)排水1 h时，游泳池中剩余水量是多少？ (3)游泳池完全排空需要多久？ 解：(1)根据题意，得y＝－20x＋2 500.这个函数是一次函数. (2)1 h＝60 min，当x＝60时，y＝－20×60＋2 500＝1 300. 故排水1 h时，游泳池中剩余水量是1 300 m3. (3)令y＝0，得－20x＋2 500＝0，解得x＝125. 故游泳池完全排空需要125 min. 【对应训练】 1～2.教材P90练习第2～3题. 3.已知y＝(m＋1)x＋n＋4. (1)当m，n取何值时，y是x的一次函数？ (2)当m，n取何值时，y是x的正比例函数？ 解：(1)m≠－1，n为任意实数．(2)m≠－1，n＝－4. 【教学建议】 学生独立思考完成，教师统一答案，告诉学生以下两点： (1)利用一次函数的两组对应值求函数解析式的过程，其实质就是列方程组求解的过程； (2)对于实际问题，要先理解题意，找出两个变量之间的关系，然后根据题中等量关系列出等式，再用含自变量的式子表示函数.. 活动四：随堂训练，课堂总结 【课堂总结】