17.2.2 勾股定理的逆定理的应用 教案（表格式）-2023-2024学年人教版数学八年级下册

教学设计 课题 勾股定理的逆定理的应用 授课人 素养目标 1.理解勾股定理与其逆定理的区别和联系． 2．灵活应用勾股定理及其逆定理解决实际问题，培养应用数学的意识. 教学重点 灵活应用勾股定理及其逆定理解决实际问题． 教学难点 割补思想、转化思想和数形结合思想的应用. 教学活动 教学步骤 师生活动 活动一：创设情境，导入新课 设计意图 通过实际情境，激发学生的学习兴趣. 【情境导入】 如图，已知小岛B与港口A相距5 n mile，一艘船 C位于港口A正东方向3 n mile处，与小岛B相距 4 n mile，根据这些条件能知道小岛B在船C的哪 个方向吗？ 【教学建议】 指定学生回答，提醒学生E，n分别表示东、北两个方向. 活动二：问题引入，自主探究 设计意图 培养学生利用勾股定理及其逆定理解决问题的能力. 探究点1　勾股定理的逆定理的实际应用 例1　(教材P33例2)如图，某港口P位于东西方向 的海岸线上．“远航”号、“海天”号轮船同时离开港口， 各自沿一固定方向航行，“远航”号每小时航行16 n mile， “海天”号每小时航行12 n mile.它们离开港口一个半小时 后分别位于点Q，R处，且相距30 n mile.如果知道“远航”号沿东北方向航行，能知道“海天”号沿哪个方向航行吗？ 分析：在图中可以看到，由于“远航”号的航向已知，如果求出两艘轮船的航向所成的角，就能知道“海天”号的航向了． 解：根据题意，PQ＝16×1.5＝24(n mile)，PR＝12×1.5＝18(n mile)，QR＝30 n mile.因为242＋182＝302，即PQ2＋PR2＝QR2， 所以∠QPR＝90°.由“远航”号沿东北方向航行可知，∠1＝45°. 因此∠2＝45°，即“海天”号沿西北方向航行． 【对应训练】 教材P33练习第3题． 探究点2　勾股定理及其逆定理的综合应用 勾股定理与其逆定理的区别和联系是什么？ 　例2　如图，在△ABC中，D是边BC上一点，AB＝10，BD＝6，AD＝8，AC＝17. (1) 求∠ADB的度数； (2) 求CD的长. 解：(1)∵BD2＋AD2＝62＋82＝102＝AB2， 【教学建议】 告诉学生可先根据已知条件计算出各边长，再利用勾股定理及其逆定理判断三角形是否为直角三角形，最后解答问题. 【教学建议】 （1）指定学生代表回答，教师总结勾股定理及其逆定理的区别和联系. 第2课时　勾股定理的逆定理的应用 教学步骤 师生活动 ∴△ABD是直角三角形，且∠ADB＝90°. (2)∵∠ADB＝90°，∴∠ADC＝180°－∠ADB＝90°. ∴在Rt△ACD中，CD＝＝＝15. 【对应训练】 如图是一个零件的示意图，量得AB＝4 cm，BC＝3 cm，CD＝12 cm，AD＝13 cm.若∠ABC＝90°，求△ACD的面积. 解：在Rt△ABC中，∵∠ABC＝90°， ∴AC＝＝＝5(cm). ∵AC2＋CD2＝52＋122＝132＝AD2， ∴△ACD是直角三角形，且∠ACD＝90°. ∴S△ACD＝AC·CD＝×5×12＝30(cm2). （2）提醒学生：已知直角三角形时，要联想到应用勾股定理求长度；已知三角形的三边长时，要联想到应用勾股定理的逆定理找直角．注意直角的邻补角也是直角. 活动三：重点突破，提升探究 设计意图 巩固学生运用勾股定理及其逆定理解决问题的能力. 例3　如图，在四边形ABCD中，AB＝BC＝2，CD＝3，DA＝1，且∠B＝90°，求∠BAD的度数. 解：如图，连接AC. ∵∠B＝90°，AB＝BC＝2， ∴AC＝＝2，∠BAC＝45°. ∵CD＝3，DA＝1，∴AC2＋DA2＝8＋1＝9＝CD2. ∴△ACD是直角三角形，且∠CAD＝90°. ∴∠BAD＝∠BAC＋∠CAD＝45°＋90°＝135°. 【对应训练】 如图，正方形ABCD是由9个边长为1的小正方形组成的，点E，F均在格点(每个小正方形的顶点都是格点)上，连接AE，AF，求∠EAF的度数. 解：如图，连接EF，则AE＝＝， EF＝＝， AF＝＝， ∴AE2＋EF2＝()2＋()2＝10＝()2＝AF2. ∴△AEF是直角三角形，∠AEF＝90°.又AE＝EF， ∴∠EAF＝∠EFA＝45°. 【教学建议】 提示学生：(1)已知直角时，要构造相应的直角三角形并利用勾股定理求边长；(2)仅知道三角形的边长求角度时，所求角度一般比较特殊，要联想到直角三角形、等腰三角形等；(3)网格中求角度，一般先构造出相应的三角形，再利用勾股定理求各边长，然后利用勾股定理的逆定理找直角，也可能涉及“等边对等角”. 活动四：随堂训练，课堂总结 【课堂总结】师生一起回顾本节课