5.3.1导数研究函数单调性 2023-2024学年高二数学教材配套教学精品课件（人教A版2019选择性必修第二册）

人教A版 选择性必修第二册 第五章 一元函数的导数及其应用 5.3 导数在研究函数中的应用 5.3.1 函数的单调性 教学目标 1.理解导数与函数的单调性的关系． 2.掌握利用导数判断函数单调性的方法． 3.能利用导数的方法解决相关的单调性问题． 01 情景导入 情景导入 研究股票时，我们最关心的是股票的发展趋势(走高或走低)以及股票价格的变化范围(封顶或保底)．从股票走势曲线图来看，股票有升有降．在数学上，函数曲线也有升有降，就是我们常说的单调性． 那么，函数的单调性与导数有什么关系呢？ 情景导入 思考：判断函数单调性的方法有哪些？ 1 定义法 2 图象法 3 性质法 （增+增→增，减+减→减，复合函数单调性“同增异减”等） 4.导数法 02 函数的单调性 新知探究 探究：图(1)是某高台跳水运动员的重心相对于水面的高度h随时间t变化的函数 h(t)=-4.9t2+2.8t+11的图象，图(2)是跳水运动员的速度v 随时间t变化的函数 v(t)=h′(t)=-9.8t+2.8的图象.a= ,b是函数h(t)的零点. t h a O b (1) t h a O b (2) 问题1：运动员从起跳到最高点，以及从最高点到入水这两段时间的运动状态有什么区别？如何从数学上刻画这种区别？ 新知探究 t h a O b (1) t h a O b (2) 观察图象可以发现: (1) 从起跳到最高点， 运动员的重心处于上升状态，离水面的高度h随时间t的增加而增加， 即h(t)单调递增. 相应地，v(t)=h'(t)>0. (2) 从最高点到入水， 运动员的重心处于下降状态，离水面的高度h随时间t的增加而减小， 即h(t)单调递减. 相应地，v(t)=h'(t)<0. 新知探究 问题2：我们看到，函数h(t)的单调性与h'(t)的正负有内在联系. 那么，我们能否由h'(t)的正负来判断函数h(t)的单调性呢? 对于高台跳水问题，可以发现: 当t∈(0, a)时，h′(t)>0，函数h(t)的图象是“上升”的，函数h(t)在(0, a)内单调递增； 当t∈(a, b)时，h'(t)<0，函数h(t)的图象是“下降”的，函数h(t)在(a, b)内单调递减. 新知探究 问题3：观察下面一些函数的图象，你能说明你的猜测是否正确吗？函数的单调性与导数的正负的关系吗？ 在区间(a,b)上， h′(t)>0 在区间(a,b)上， h′(t)<0 在区间(a,b)上， h(t)单调递增 在区间(a,b)上， h(t)单调递减 猜测 新知探究 在上，单调递增 原函数图象 导函数图象 1.f(x)=x 在上， 新知探究 在上，单调递减 在上，单调递增 原函数图象 导函数图象 在上， 在上， 2.f(x)=x2 新知探究 在上，单调递增 在上，单调递增 在上， 在上， 原函数图象 导函数图象 3.f(x)=x3 新知探究 在上，单调递增 在上，单调递增 在上， 在上， 原函数图象 导函数图象 3.f(x)= 新知探究 函数的单调性与导数的关系： 一般地，函数f(x)的单调性与导函数f '(x)的正负之间具有如下的关系: 在某个区间(a, b)上, 如果f ′(x)>0, 那么函数y=f(x)在区间(a, b)上单调递增; 在某个区间(a, b)上, 如果f '(x)<0, 那么函数y=f(x)在区间(a, b)上单调递减. 思考1：如果在某个区间上恒有f ′(x)=0，那么函数f(x)有什么特性? 函数y=f(x)在这个区间上是常数函数. 新知探究 新知探究 例1 利用导数判断下列函数的单调性： （1） （2） （3） 解（1）因为 ，所以 所以，函数 在R上单调递增，如图（1）所示. 新知探究 （2）因为 ，所以 所以，函数 上单调递减，如图（2）所示. （3）因为 所以，函数 上单调递增，如图（3）所示. 新知探究 l ① 求出函数的定义域； ② 求出函数的导数f (x)； ③ 判定导数f (x)的符号； ④ 确定函数f(x)的单调性. 判定函数单调性的步骤： 03 利用导数求函数单调区间 新知探究 例2.已知导函数的下列信息： 当时，； 当，或时，； 当，或时，. 试画出函数图象的大致形状. 解：当时，，可知在区间内单调递增； 当或时，，可知在区间和上都单调递减； 当或时，，这两点比较特殊，我们称它们为“稳定点”. 综上，函数图象的大致形状如图所示. 新知探究 问题3：回顾一下函数单调性的定义，并思考在某个区间上单调的函数的平均变化率的几何意义与的正负的关系. 一般地，设函数的定义域为：如果对于定义域内某个区间上的任意两个自变量