6.3.1 实数的概念 教案-2023-2024学年人教版数学七年级下册

第1课时 实数的概念 教学设计 课题 实数的概念 授课人 素养目标 1.理解无理数的概念，会判断一个数是否为无理数. 2.理解有理数和无理数的概念，会把实数进行分类. 3.理解实数与数轴的关系，并进行相关运用. 4.理解实数范围内的相反数、绝对值的意义. 教学重点 1.理解无理数的概念，会判断一个数是否为无理数. 2.理解有理数和无理数的概念，会把实数进行分类. 教学难点 理解实数与数轴的关系，并进行相关运用. 教学活动 教学步骤 师生活动 活动一：复习回顾，问题引入 设计意图 学生回忆有理数及无限不循环小数的概念，为学习实数做铺垫. 【回顾导入】 请同学们回顾下面这两个问题： 什么是有理数？有理数怎样分类？ 什么是无限不循环小数？无限不循环小数都有哪些形式？ 答：小数位数无限，且小数部分不循环的小数叫做无限不循环小数.很多数的平方根和立方根都是无限不循环小数. 【教学建议】 教师指定学生代表作答. 活动二：问题引入，探究新知 设计意图 通过探究有理数的形式引入无理数的概念，将数系扩充至实数，达到整体认识，形成知识迁移. 探究点1实数的概念及分类 （教材P53探究）我们知道有理数包括整数和分数，请把下列分数写成小数的形式，你有什么发现？ 答：我们发现，上面的分数都可以写成有限小数或无限循环小数的形式，即 问题1任何有限小数或无限循环小数都可以化为分数吗？为什么？ 答：可以.因为如果把整数看成小数点后是0的小数，那么任何一个有理数都可以写成有限小数或无限循环小数的形式.反过来，任何有限小数或无限循环小数也都是有理数，即可以化为分数（整数可以看作分母为1的分数）. 【教学建议】 学生交流讨论，自主探究，教师归纳、订正.先通过复习有理数的概念，再经过类比学习的方法引入无理数的概念，体会两者之间的区别，最后给出实数的概念，层层设问，发展学生的自学意识. 教学步骤 师生活动 设计意图 通过具体实例，让学生直观感受无理数可用数轴上的点表示，从而深化扩展到实数与数轴上的点的一一对应关系. 问题2我们学过的所有数都能化成这种形式吗？若不能，请举例说明. 答：不能.如，这样的无限不循环小数. 概念引入：无限不循环小数又叫做无理数. 常见的无理数的形式有：①开方开不尽的数，如，-等；②π及含π的式子，如π，2+π等；③结构特殊且不循环的小数，如1.01001000100001…（相邻的两个1之间依次多一个0）. 概念引入：有理数和无理数统称实数. 问题3仿照有理数的分类，你能对实数进行分类吗？ 【对应训练】 1.下列说法正确的是（ D ） A.正实数和负实数统称为实数 B.正数、0和负数统称为有理数 C.带根号的数和分数统称为实数 D.无理数和有理数统称为实数 2.把下列各数分别填入相应的大括号中： 探究点2 实数与数轴上的点的对应关系 我们知道，每个有理数都可以用数轴上的点来表示.无理数是否也可以用数轴上的点表示出来呢？ （1）（教材P54探究）如图，直径为1个单位长度的圆从原点沿数轴向右滚动一周，圆上的一点由原点到达点O′，点O′对应的数是多少？ 注意强调：无限小数既可能是有理数，也可能是无理数，因为无限小数有无限循环和无限不循环两种形式. 实数分类时类比有理数的分类，让学生尝试分类，体会无理数的特征.在自主探究的过程中，发展学生的类比思想和分类思想.分类原则是不重不漏，且有时分类的数会同时属于多个集合，此时更应注意不要漏写. 【教学建议】 学生在讨论合作的基础上动手操作，教师利用多媒体课件进行动态演示，并对学生讨论交流的结果进行总结. 教学步骤 师生活动 设计意图 通过具体练习使学生体会到相反数和绝对值的意义同样适合于实数. 答：从图中可以看出，OO′的长是这个圆的周长π，所以点O′对应的数是π. （2）如图，以单位长度为边长画一个正方形，以原点为圆心，正方形对角线长为半径画弧，与正半轴的交点就表示，与负半轴的交点就表示-.为什么？ 答：在学习算术平方根的估算时，我们知道，用两个面积为1的小正方形剪拼成一个面积为2的大正方形，这个大正方形的边长就是小正方形的对角线长，因此图中正方形的对角线长是.所以以原点为圆心，以小正方形的对角线为半径画弧，与数轴的两个交点分别表示数，-. 事实上，每一个无理数都可以用数轴上的一个点表示出来. 总结：当数的范围从有理数扩充到实数后，实数与数轴上的点是一一对应的，即每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示；反过来，数轴上的每一个点都表示一个实数.与规定有理数的大小一样，对于数轴上的任意两个点，右边的点所表示的实数总比左边的点表示的实数大. 【对应训练】 1.教材P56练习第1题. 2.如图，面积为5的正方形ABCD的顶