第二十四章《圆》期末复习讲义 2023--2024学年人教版九年级数学上册

第二十四章《圆》复习讲义 一、本章知识回顾 1.圆中重要的定理及其推论 知识点 文字语言 图形语言 符号语言 垂径定理 垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧 ∵_____________________ ∴_____________________ 垂径定理推论 平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧. ∵____________________ ∴_____________________ 弧、弦、圆心角定理 在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等. 在⊙O 中， ∵_____________________ ∴____________________ 在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等，所以的弦也相等. 在⊙O 中， ∵_____________________ ∴_____________________ 在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的优弧和劣弧分别相等. 在⊙O 中， ∵_____________________ ∴____________________ 圆周角定理 一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半. 在⊙O 中， ∵____________________ ∴_____________________ 圆周角定理的推论 同弧或等弧所对的圆周角相等 在⊙O 中， ∵_____________________ ∴_____________________ ∵ ∴_____________________ 半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径. ∵_____________________ ∴_____________________ ∵_____________________ ∴_____________________ 圆内接四边形的性质 圆内接四边形的对角互补 ∵____________________ ∴_____________________ 切线的判定和性质 经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线 ∵_____________________ ∴_____________________ 圆的切线垂直于过切点的半径 ∵_____________________ ∴____________________ 切线长定理 从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角 ∵____________________ ∴____________________ 2．圆中正多边形的公式（其中圆的半径为R） 中心角 边长 边心距 周长 面积 圆内接正三角形 圆内接正方形 圆内接正六边形 3．弧长、扇形、圆锥的重要公式 （1）已知扇形的圆心角为，半径为, 则扇形的弧长_________,扇形的面积=_________=_________ （2）圆锥的底面圆的半径为，圆锥的母线为（），圆锥侧面展开图扇形的圆心角为， 则圆锥底面面积为_____,圆锥的侧面面积为____ , 圆锥的全面积为________ _.________ . 二、基础知识过关 1. 如图1,CD是圆O的直径，AB是圆O的弦，且AB＝10，若CD⊥AB于点E，则AE的长为____. 2. 若扇形的半径为2，圆心角为90°,则这个扇形的面积为________. 3．如图2，AB是⊙O的直径，点C，D是圆上两点，若∠AOC＝126°,则∠CDB＝_______. 4．如图3，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于E，若∠ABC＝30°,OE＝，则OD长_____. 5. 如图4，OA交⊙O于点B,AD切⊙O于点D，点C在⊙O上．若∠A＝40°,则∠C=_. 图1 图2 图3 图4 6. 已知圆锥的底面半径为3，侧面展开图的圆心角为180°，则圆锥的母线长是______. 7. 圆锥的底面半径为1，母线长为3，则侧面积为______. 三、例题讲解 （A）例1：如图，AB是⊙O的弦,OP⊥OA交AB于点P，过点B的直线交OP的延长线于点C，且CP＝CB． （1）求证：BC是⊙O的切线； （2）若⊙O的半径为,OP＝1，求BC的长． （B）例2：如图