专题05 三角形的证明（6个知识点+方法练+创新练+成果练）2024年八年级数学寒假预习核心知识点与常见题型通关讲解练（北师大版）

专题05 三角形的证明（6个知识点+方法练+创新练+成果练） 【目录】 【新知讲解】 知识点1.等腰（等边）三角形的性质及判定 知识点2.线段垂直平分线与角平分线的综合运用 知识点3.证明线段相等的方法 知识点4.证明角相等的方法 知识点5.证明垂直的方法 知识点6.分类讨论思想 【方法练】 【创新练】 【成果练】 【知识导图】 【新知讲解】 知识点1.等腰（等边）三角形的性质及判定 性质定理：等腰三角形两底角相等 判定定理：如果一个三角形中有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简称“等角对等边”）. 【例1】（2023·湖北武汉·八年级校考阶段练习）在中，，是边上一点，连接，若，，，则 ．（用含，的式子表示） 知识点2.线段垂直平分线与角平分线的综合运用 线段的垂直平分线与角平分线是非常重要的，是尺规作图中的基本图形，同时,它们的性质定理判定定理、又为我们提供了证明线段相等、角相等的方法. 【例2】如图，某地有两个村庄，，和两条相交的公路，，现计划在内修建一个物资仓库，希望仓库到两个村庄的距离相等，到两条公路的距离也相等，请你确定物资仓库的位置．（保留画图痕迹，不写画法） 知识点3.证明线段相等的方法 证明两条钱段相等是证明其他几何问题的基础，应该及时进行总结归纳．本章证明两条线段相等的方法有下面三种； 方法一：当两条线段分别在两个三角形中时，一般证这两个三角形全等。 方法二：当两条线段在同一个三角形中时，可以利用等腰三角形的判定,线段垂直平分线的性质或角平分线的性质来进行证明. 方法三;当不能直接证明时，可采用中间量进行代换.例如：要证a=b,先证a=c.b=c,则a=b 【例3】（2022·湖北武汉·八年级统考期中）如图，的角平分线与线段的垂直平分线交于点D，，垂足分别为点E、F．    (1)求证：； (2)求证：． 【变式】（2023·江苏盐城·八年级校考期中）如图，是的角平分线，，，垂足分别为，． (1)求证：； (2)若的面积为，，，求的长． 知识点4.证明角相等的方法 证明两角相等的方法有很多，可以利用全等三角形的对应角相等、等边对等角、角干分线的性质定理和其逆定理，以及以前所学的平行线的性质，等量代换等方法. 【例4】（2023·安徽芜湖·八年级统考阶段练习）如图，在中，的平分线交于点平分．求证： (1)； (2)． 知识点5.证明垂直的方法 证明垂直的方法也很多,可以利用等腰三角形三线合一的性质、垂直平分线的判定定理、勾股定理的逆定理,也可以证与已知直角三角形全等、邻补角相等等 【例5】（2023下·福建福州·八年级福建省福州第一中学校考期中）在中，，D为内一点，连接，，延长到点E，使得． (1)如图1，延长到点F，使得，连接，． ①求证：； ②若，求证：； (2) 连接，交的延长线于点H，连接，依题意请补全图2．若，试探究线段、与的数量关系． 知识点6.分类讨论思想 当被研究的问题包含多种可能的情况时,不能一概而论,必须按可能出现的所有情况分别讨论,从而得出相应的结论. 【例6】（2023·全国·八年级专题练习）如图①，在平面直角坐标系中，，，且满足，过作轴于．    (1)求三角形的面积； (2)如图②，若过作交轴于，且，分别平分，，求的度数； (3)在轴上是否存在点，使得三角形和三角形的面积相等？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【方法练】 1．（2024下·全国·八年级假期作业）（1）【感悟】如图1，是的高线，，若，，求的长．小明同学的解法是：将沿折叠，则点C刚好落在边上的点E处．请你画出图形并写出完整的解题过程； （2）【探究】如图2，，为的外角的平分线，交的延长线于点D，则线段、、又有怎样的数量关系？请写出你的猜想并证明； （3）【拓展】如图3，在四边形中，平分，，，，则的长为__________． 2．（2023·河南南阳·八年级统考阶段练习）在中，， (1)用直尺和圆规作的平分线交于点D（保留作图痕迹，不要求写作法．） (2)在（1） 的条件下，求． 【创新练】 1．（2022·江苏扬州·统考中考真题）如图，在中，分别平分，交于点． (1)求证：； (2)过点作，垂足为．若的周长为56，，求的面积． 2．（2022·湖南怀化·统考中考真题）如图，在等边三角形ABC中，点M为AB边上任意一点，延长BC至点N，使CN=AM，连接MN交AC于点P，MH⊥AC于点H． (1)求证：MP=NP； (2)若AB＝a，求线段PH的长（结果用含a的代数式表示）． 3．（2022·浙江温州·统考中考真题）如图，是的角平分线，，交于点E． (1)求证：． (2)当时，请判断与的大小关系，并说明理由． 【成果练】 一、单选题 1．（2023·湖北荆州·八年